Математика / Начала анализа
Производная сложной функции
Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.
Формула
Сначала x попадает во внутреннюю функцию g, затем результат становится аргументом внешней функции f.
Производная композиции перемножает скорости двух этапов изменения.
Обозначения
- $g(x)$
- внутренняя функция
- $f(g(x))$
- внешняя функция, примененная к внутренней
- $f'(g(x))$
- производная внешней функции при аргументе g(x)
- $g'(x)$
- производная внутренней функции
Условия применения
- Внутренняя функция g дифференцируема в точке x.
- Внешняя функция f дифференцируема в точке g(x).
- Структура функции действительно является композицией, а не простой суммой или произведением.
Ограничения
- Если забыть множитель g'(x), результат обычно будет неверным.
- Правило не заменяет правила произведения или частного, если композиция сочетается с умножением или делением.
- Для функций с ограниченной областью определения нужно проверять допустимость внутреннего выражения.
Подробное объяснение
Сложная функция меняется в два этапа. Сначала при изменении x меняется внутреннее выражение g(x), затем из-за изменения g меняется внешняя функция f. Правило цепочки перемножает эти две скорости изменения. Если внутренняя функция меняется быстро, итоговая производная увеличивается; если внутренняя производная равна нулю, локально вся композиция может иметь нулевую скорость изменения.
Это правило объясняет, почему производная (2x+1)^10 не равна просто 10(2x+1)^9. Внешняя степень дает 10(2x+1)^9, но внутренний аргумент 2x+1 меняется со скоростью 2, поэтому итоговая производная равна 20(2x+1)^9. Такой множитель часто называют производной внутренней функции.
Правило цепочки является центральным для школьного анализа. Оно связывает таблицу производных с реальными выражениями: почти любая формула из таблицы применяется к не просто x, а к выражению внутри скобок. Поэтому при решении полезно вслух назвать внешнюю и внутреннюю функции, а затем записать две производные до умножения.
Как пользоваться формулой
- Найдите внутреннюю функцию g(x).
- Определите внешнюю функцию f, которая применяется к g(x).
- Найдите производную внешней функции и оставьте внутри g(x).
- Найдите производную внутренней функции g'(x).
- Перемножьте результаты и упростите.
Историческая справка
Правило цепочки сформировалось как часть общего развития дифференциального исчисления, когда математики начали систематически работать с функциями от функций. В ранних задачах анализа переменные величины часто зависели друг от друга последовательно: положение от времени, скорость от положения, геометрическая величина от вспомогательного параметра. Символика Лейбница особенно хорошо передавала эту идею через отношения дифференциалов, а ньютоновская механическая традиция давала физические примеры зависимых изменений. В современной школьной записи правило цепочки стало одним из главных правил производной, потому что большинство выражений в задачах ЕГЭ являются композициями: степени от скобок, тригонометрические функции сложного аргумента, логарифмы и корни.
Историческая линия формулы
Правило производной сложной функции не имеет одного автора в школьной формулировке. Оно выросло из дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница и позднее стало строгим правилом для композиции дифференцируемых функций.
Пример
Найдем производную f(x)=(3x^2-1)^5. Внешняя функция - пятая степень, внутренняя функция g(x)=3x^2-1. Производная внешней функции по правилу степени дает 5(3x^2-1)^4, но это еще не весь ответ. Нужно умножить на производную внутренней функции: g'(x)=6x. Значит, f'(x)=5(3x^2-1)^4*6x=30x(3x^2-1)^4. Если забыть множитель 6x, получится производная функции t^5 по переменной t, но исходная функция меняется по переменной x быстрее или медленнее в зависимости от внутреннего выражения. При x=0 производная равна 0 именно из-за множителя 6x.
Частая ошибка
Самая частая ошибка - продифференцировать только внешнюю функцию и забыть производную внутренней. Вторая ошибка - неверно выделить слои: например, в (x^2+1)^3 внешняя функция - степень, а не x^2. Еще одна ошибка - преждевременно раскрывать большие степени, из-за чего решение становится длинным и повышается риск арифметической ошибки. На ЕГЭ правило цепочки часто проверяется именно через такие скобки.
Практика
Задачи с решением
Степень от скобки
Условие. Найдите производную y=(2x-3)^4.
Решение. Внешняя функция t^4, внутренняя 2x-3. y'=4(2x-3)^3*2=8(2x-3)^3.
Ответ. 8(2x-3)^3
Квадратный внутренний аргумент
Условие. Найдите производную y=(x^2+5)^3.
Решение. y'=3(x^2+5)^2*(2x)=6x(x^2+5)^2.
Ответ. 6x(x^2+5)^2
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- OpenStax Calculus Volume 1, раздел The Chain Rule
- OpenStax Calculus Volume 1, раздел Differentiation Rules
Связанные формулы
Математика
Производная степенной функции
Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.
Математика
Производная произведения
Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.
Математика
Производная частного
Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.