Все формулы РФ

Математика / Арифметика и теория чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 6 классАрифметикаТеория чиселКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$$
Схема Последняя цифра решает
Делится на 2Делится на 5Делится на 100 2 4 6 80 50

Для 2, 5 и 10 достаточно проверить последнюю цифру.

Обозначения

$n$
проверяемое натуральное число, число
$a0$
последняя цифра числа, цифра
$\vdots$
делится нацело, отношение делимости

Условия применения

  • Число записано в десятичной системе счисления.
  • Проверяется делимость на 2, 5 или 10.
  • Нужно узнать, делится ли число без остатка, а не найти частное.

Ограничения

  • Признаки не дают само частное; после проверки при необходимости все равно выполняют деление.
  • Для делимости на 3, 9, 4, 8 и другие числа нужны отдельные признаки.
  • Если число записано не в десятичной системе, признаки по последней цифре меняются.

Подробное объяснение

В десятичной записи любое натуральное число можно представить как сумму десятков и последней цифры. Все десятки делятся на 2, 5 и 10 по понятным причинам: 10 делится на 2, на 5 и на 10. Поэтому остаток при делении числа на эти делители зависит только от последней цифры. Если последняя цифра четная, весь набор десятков не мешает делимости на 2. Если последняя цифра 0 или 5, число делится на 5. Если последняя цифра 0, число делится на 10.

В 6 классе эти признаки становятся рабочим инструментом. Они помогают быстро находить общие делители чисел, проверять, можно ли сократить дробь, и начинать разложение числа на множители. Например, если число оканчивается на 0, сначала часто удобно разделить его на 10 или на 2 и 5.

Важно понимать, что признак делимости не заменяет деление. Он отвечает только на вопрос «делится ли нацело?». Если задача просит найти частное, нужно после проверки выполнить деление. Но как предварительная проверка признак экономит время и снижает вероятность тяжелых арифметических ошибок.

Как пользоваться формулой

  1. Посмотрите на последнюю цифру числа.
  2. Для делимости на 2 проверьте, является ли последняя цифра четной.
  3. Для делимости на 5 проверьте, равна ли последняя цифра 0 или 5.
  4. Для делимости на 10 проверьте, равна ли последняя цифра 0.

Историческая справка

Признаки делимости появились как практические приемы устной и письменной арифметики. До распространения калькуляторов быстрые проверки делимости были особенно важны в торговле, учете, измерениях и школьных вычислениях. Деление больших чисел занимало время, а признаки позволяли заранее понять, есть ли смысл выполнять полное деление.

Правила для 2, 5 и 10 напрямую связаны с десятичной позиционной записью. Основание системы равно 10, поэтому последние разряды особенно важны для делителей, связанных с 10. В 6 классе эти признаки становятся первым шагом к более общей идее: свойства записи числа помогают делать выводы о делимости без полного вычисления частного.

Историческая линия формулы

У признаков делимости на 2, 5 и 10 нет одного автора. Они являются следствием десятичной позиционной системы счисления и развивались как удобные правила школьной, торговой и практической арифметики для быстрой проверки чисел.

Пример

Проверим число 4380. Последняя цифра равна 0. Значит, число делится на 2, потому что 0 относится к четным цифрам. Оно делится на 5, потому что оканчивается на 0 или 5. Оно делится и на 10, потому что последняя цифра именно 0. Это удобно при сокращении дроби 4380/1250: сразу видно, что числитель и знаменатель делятся на 10, поэтому можно начать сокращение с удаления одного нуля в конце каждого числа. Но признак только сообщает факт делимости; чтобы узнать результат деления 4380 : 10, нужно выполнить отдельное действие и получить 438.

Частая ошибка

Частая ошибка - проверять все число на четность по сумме цифр, хотя для делимости на 2 достаточно последней цифры. Вторая ошибка - считать, что число, оканчивающееся на 5, делится на 10; для 10 нужна последняя цифра 0. Третья ошибка - забывать, что 0 является четной цифрой. Еще одна ошибка - путать делимость с приблизительным делением: число 1235 делится на 5 без остатка, но на 2 и 10 не делится.

Практика

Задачи с решением

Проверка трех признаков

Условие. Определите, делится ли число 7265 на 2, 5 и 10.

Решение. Последняя цифра 5. Число не делится на 2, потому что 5 нечетная. Делится на 5, потому что оканчивается на 5. Не делится на 10, потому что не оканчивается на 0.

Ответ. На 5 делится; на 2 и 10 не делится.

Быстрое сокращение

Условие. Можно ли сразу сократить дробь 1540/390 на 10?

Решение. 1540 оканчивается на 0, а 390 тоже оканчивается на 0. Оба числа делятся на 10, значит дробь можно сократить на 10.

Ответ. Да, можно.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Divisibility tests

Связанные формулы

Математика

Признаки делимости на 3 и 9

$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр.

Математика

Разложение числа на простые множители

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

Математика

Наибольший общий делитель

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.