Все формулы РФ

Математика / Умножение, деление

Умножение суммы на число

Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 3 классАрифметикаУмножение, делениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$$

Обозначения

a, b
слагаемые внутри суммы, предметы, рубли, клетки или другие единицы задачи
$c$
число одинаковых повторений суммы, наборы, группы, ряды
$(a + b) · c$
общее количество после повторения всей суммы c раз, та же единица, что у a и b

Условия применения

  • В скобках должна быть сумма двух или нескольких слагаемых.
  • Один и тот же множитель c относится ко всей сумме.
  • Слагаемые должны иметь один смысл и одну единицу измерения, если речь идет о величинах.

Ограничения

  • Правило не означает, что можно умножить только одно слагаемое: (a + b) · c не равно a · c + b.
  • Если в задаче слагаемые имеют разные единицы, например метры и рубли, сначала нужно разобраться со смыслом выражения.
  • Для сложных выражений со скобками важно соблюдать порядок действий, а не раскрывать скобки механически.

Подробное объяснение

Правило умножения суммы на число показывает, как связаны сложение и умножение. Если сумма a + b повторяется c раз, то каждый раз повторяется и часть a, и часть b. Поэтому можно собрать все части a отдельно, все части b отдельно, а затем сложить получившиеся количества. На рисунке это удобно представить как несколько одинаковых коробок: в каждой есть две группы предметов.

Для 3 класса это правило важно не как формальное раскрытие скобок, а как способ осмысленного счета. Например, выражение (20 + 3) · 4 помогает умножить 23 на 4: сначала 20 · 4 = 80, потом 3 · 4 = 12, затем 80 + 12 = 92. Такой прием готовит к письменному умножению многозначных чисел и объясняет, почему десятки и единицы можно умножать отдельно.

Правило также помогает проверять ответ другим способом. Если сначала сложили в скобках, можно затем посчитать по частям. Если оба способа дали одинаковый результат, вероятность ошибки меньше. Но правило работает только тогда, когда один и тот же множитель относится ко всей сумме, поэтому скобки и смысл задачи нужно читать внимательно.

Как пользоваться формулой

  1. Определите сумму, которую нужно умножить на число.
  2. Умножьте каждое слагаемое этой суммы на общий множитель.
  3. Сложите полученные произведения.
  4. Проверьте результат способом со скобками: сначала сумма, затем умножение.

Историческая справка

Правило умножения суммы на число является школьной формой распределительного свойства умножения относительно сложения. Его практический смысл появился намного раньше современной алгебраической записи: торговцы, землемеры и счетоводы раскладывали большие числа на удобные части, чтобы считать быстрее. Например, число 23 удобно воспринимать как 20 и 3, а затем отдельно умножать десятки и единицы.

В древних системах счета такие приемы встречались в таблицах и расчетных правилах без символов a, b и c. Современная запись с буквами появилась в развитой алгебре, когда математики стали описывать общие свойства действий. В начальной школе это свойство возвращается к своему исходному смыслу: оно объясняет удобный устный счет и готовит к письменному умножению.

Историческая линия формулы

У правила нет одного автора. Оно связано с развитием арифметики и алгебраической символики, а в школьной математике используется как конкретный смысл распределительного свойства: одинаковый множитель распределяется на все слагаемые суммы.

Пример

В одной коробке лежит 6 красных и 4 синих карандаша. Таких коробок 3. Можно сначала найти, сколько карандашей в одной коробке: 6 + 4 = 10, затем умножить на число коробок: 10 · 3 = 30. Можно посчитать иначе: красных карандашей 6 · 3 = 18, синих 4 · 3 = 12, всего 18 + 12 = 30. Оба способа дают один и тот же ответ, потому что каждая коробка устроена одинаково. Второй способ особенно удобен, если каждую часть нужно видеть отдельно: например, когда спрашивают не только общее число карандашей, но и сколько красных и сколько синих.

Частая ошибка

Частая ошибка - умножить только первое слагаемое и записать (6 + 4) · 3 = 6 · 3 + 4. Так теряется часть предметов. Вторая ошибка - применять правило к выражению, где множитель относится не ко всей сумме, а только к соседнему числу. Третья ошибка - забывать скобки в записи: 6 + 4 · 3 считается иначе, потому что сначала выполняется умножение. Еще одна ошибка в задачах - не проверять, что каждая коробка или группа действительно одинаковая.

Практика

Задачи с решением

Коробки с карандашами

Условие. В коробке 7 простых и 5 цветных карандашей. Коробок 4. Сколько карандашей всего?

Решение. (7 + 5) · 4 = 7 · 4 + 5 · 4 = 28 + 20 = 48.

Ответ. 48 карандашей

Удобное умножение

Условие. Вычислите 18 · 3, представив 18 как сумму 10 + 8.

Решение. 18 · 3 = (10 + 8) · 3 = 10 · 3 + 8 · 3 = 30 + 24 = 54.

Ответ. 54

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Whole Numbers, Multiply Whole Numbers

Связанные формулы

Математика

Умножение как сумма одинаковых слагаемых

$a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$

Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением.

Математика

Перестановка множителей

$a\cdot b=b\cdot a$

От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам.

Математика

Порядок действий со скобками

$\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.