Математика / Пределы, ряды

Достаточный признак экстремума по смене знака производной

Смена знака первой производной дает уже достаточный вывод об экстремуме. Если функция переходит от роста к убыванию, возникает максимум; если от убывания к росту, получается минимум.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}

extremum-sign-change Поворот знака производной

На схеме показана точка, в которой знак первой производной переходит через ноль и меняет направление роста графика.

Именно смена знака делает ноль производной максимумом или минимумом.

Обозначения

$f'(x)$: знак локального изменения функции, единицы функции на единицу аргумента
$x_0$: подозрительная точка, где может быть экстремум, единицы аргумента
$+\to-$: смена знака производной с положительного на отрицательный, знак на промежутках

Когда применять

Этот признак используют после того, как критические точки уже найдены. Он позволяет превратить таблицу знаков в конкретный вывод о вершине или впадине графика. Это самый практичный способ отличить настоящий экстремум от просто нуля производной. Алгоритм простой: отмечают точки, где производная равна нулю или не существует, затем проверяют знак слева и справа от каждой точки. Если знак меняется, точка дает экстремум. Если нет, то точка не является экстремальной, даже если производная в ней равна нулю.

Условия применения

Нужно сначала найти критическую точку или точку разбиения интервала.
Знак производной должен быть проверен по обе стороны от точки.
Функция должна быть определена в окрестности точки с обеих сторон.

Ограничения

Если знак производной не меняется, экстремума нет, даже когда f'(x_0)=0.
Для точек на конце отрезка этот признак в чистом виде не применяется.
Если график задан кусочно, надо проверять знаки отдельно на каждой части.

Подробное объяснение

Смена знака производной - это уже не просто необходимое, а достаточное условие экстремума. Если функция сначала возрастает, а потом убывает, то в точке перехода она достигает локального максимума. Если сначала убывает, а потом возрастает, то получается локальный минимум. Именно здесь появляется интуиция вершины или впадины: знак первой производной отражает направление движения графика, а смена знака означает смену самого направления. Поэтому таблица знаков становится не вспомогательной записью, а полноценным доказательством. Важное достоинство этого признака в том, что он работает и тогда, когда сама производная в точке равна нулю, и тогда, когда она не существует. В обоих случаях решающим оказывается именно поведение по сторонам. Это особенно удобно для функций с модулями, корнями, дробями и кусочной записью. Для гладких многочленов и рациональных функций признак дает быстрый и надежный ответ без лишних вычислений. В учебной практике он формирует очень здоровую привычку: не останавливаться на символическом решении уравнения f'(x)=0, а обязательно читать знак слева и справа. Тогда экстремум перестает быть гаданием и становится выводом из последовательности знаков.

Как пользоваться формулой

Найдите критическую точку.
Проверьте знак f' слева от нее.
Проверьте знак f' справа от нее.
Если знак меняется, назовите тип экстремума.

Историческая справка

Признак экстремума по смене знака производной вырос из общей традиции изучения стационарных точек. После того как математики научились выражать наклон через производную, стало естественно смотреть не только на саму производную в точке, но и на ее знак по обе стороны. Это уже очень близко к геометрическому чтению графика: если наклон меняет направление, то график обязан повернуть. В XVIII веке такая логика активно использовалась в механике и теории кривых, а в XIX веке школа строгого анализа оформила ее как стандартный тест. Он оказался настолько удобным, что стал одним из базовых инструментов университетского курса. Его ценность не только в ответе про максимум или минимум, но и в доказательности: знак на интервалах дает контроль над рассуждением. Именно поэтому в современных учебниках этот признак почти всегда идет сразу после критических точек и необходимого условия экстремума. Он завершает логическую цепочку от нуля производной к реальному выводу о форме графика.

Историческая линия формулы

Смену знака производной как признак экстремума нельзя приписать одному человеку. Это результат развития идей о стационарных точках, который прошел через Ферма, Ролля, Лагранжа и строгую школу Коши. Более корректно говорить о созревании теста в классическом анализе, чем об индивидуальном авторстве.

Пример

Для f(x)=x^3-3x производная равна f'(x)=3(x-1)(x+1). Слева от x=-1 знак положителен, между -1 и 1 отрицателен, а справа от 1 снова положителен. Значит, в x=-1 производная меняет знак с + на -, и там находится локальный максимум. В x=1 знак меняется с - на +, значит там локальный минимум. Это уже окончательный вывод, а не просто набор кандидатов. Для сравнения возьмем f(x)=x^3. Здесь f'(x)=3x^2\ge 0, и знак не меняется при переходе через x=0. Хотя производная равна нулю, экстремума нет. Такой контраст очень полезен: он показывает, почему нулевая производная еще не гарантирует вершину, а смена знака действительно дает достаточно сильный признак.

Частая ошибка

Главная ошибка - искать экстремум только по нулю производной и не смотреть на соседние интервалы. Еще одна - перепутать направление смены знака: +\to- дает максимум, а -\to+ дает минимум. Нередко студенты смотрят только в одной точке и забывают проверить обе стороны. Также нельзя применять этот критерий там, где функция не определена по одну из сторон точки. Наконец, если производная не меняет знак, не надо искусственно объявлять экстремум просто из-за красивого графика.

Практика

Задачи с решением

Максимум и минимум

Условие. Определите экстремумы функции f(x)=x^3-3x по знаку производной.

Решение. f'(x)=3(x-1)(x+1). Знак меняется с + на - в x=-1, значит там максимум; с - на + в x=1, значит там минимум.

Ответ. Максимум в x=-1, минимум в x=1

Нет экстремума

Условие. Есть ли экстремум у f(x)=x^3 в точке x=0?

Решение. f'(x)=3x^2\ge 0, знак не меняется, поэтому экстремума нет.

Ответ. Нет

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, first derivative test
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, first derivative test
Thomas' Calculus, the first derivative test

Связанные формулы

Математика

Критические точки функции

$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$

Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции.

Математика

Необходимое условие экстремума

$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$

Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой.

Математика

Возрастание и убывание через знак производной

$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$

Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке.