Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Ортогональное дополнение подпространства

Ортогональное дополнение W^perp состоит из всех векторов, перпендикулярных каждому вектору подпространства W. В R^n его размерность дополняет размерность W до n.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраОртогональное дополнениеОртогональностьРазмерность

Формула

$$W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$$
orthogonal-complement Подпространство и все перпендикулярные направления

Схема показывает прямую в трехмерном пространстве и плоскость ортогонального дополнения.

Ортогональное дополнение является подпространством, которое добирает перпендикулярные направления.

Обозначения

$W$
исходное подпространство, подпространство
$W^{\perp}$
ортогональное дополнение к W, подпространство
$x$
вектор из ортогонального дополнения, вектор
$w$
любой вектор из W, вектор
$n$
размерность всего пространства R^n, число

Условия применения

  • Работа идет в конечномерном евклидовом пространстве или пространстве со скалярным произведением.
  • W должно быть подпространством.
  • Для размерностной формулы рассматривается все пространство R^n или конечномерное пространство размерности n.

Ограничения

  • Для произвольного множества, не являющегося подпространством, нужно сначала рассматривать его линейную оболочку.
  • В бесконечномерных пространствах размерностные утверждения требуют дополнительных условий.
  • Ортогональное дополнение зависит от выбранного скалярного произведения.

Подробное объяснение

Определение W^perp требует перпендикулярности ко всему подпространству W. На практике не нужно проверять бесконечно много векторов: если w_1,...,w_k образуют базис W, достаточно условий x*w_i=0 для всех i. Любой w из W является линейной комбинацией базисных векторов, и линейность скалярного произведения переносит нули на всю комбинацию.

Размерностная формула dim W + dim W^perp = n показывает, что ортогональное дополнение ровно добирает недостающие направления до полного пространства. Для плоскости в R^3 дополнение обычно прямая, для прямой в R^3 - плоскость, для всего пространства - только нулевой вектор. Это не произвольное дополнение, а именно перпендикулярное.

Ортогональные дополнения особенно важны рядом с матрицами. Столбцовое пространство A и левое нулевое пространство связаны ортогонально, а строковое пространство и ядро A тоже являются ортогональными дополнениями в соответствующих пространствах. Проекция x на W оставляет остаток в W^perp, поэтому эта формула объясняет, где живет ошибка приближения.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите базис подпространства W.
  2. Запишите неизвестный вектор x с координатами.
  3. Приравняйте к нулю скалярные произведения x с каждым базисным вектором W.
  4. Решите полученную однородную систему.
  5. Запишите найденное пространство и проверьте сумму размерностей.

Историческая справка

Понятие ортогонального дополнения стало естественным после появления общего языка подпространств и скалярного произведения. В классической геометрии перпендикуляр к прямой или нормаль к плоскости рассматривались как отдельные конструкции. Линейная алгебра обобщила их: к любому подпространству можно поставить в соответствие все направления, ортогональные ему. Грассманов подход к подпространствам, размерности, независимости и линейной оболочке исторически хорошо объясняет, почему такая конструкция работает в любой конечной размерности. В современных курсах ортогональные дополнения связывают четыре фундаментальных подпространства матрицы и метод наименьших квадратов.

Историческая линия формулы

Ортогональное дополнение является современной конструкцией линейной алгебры, а не персональной формулой. Связь с Грассманом отражает вклад его идей в язык подпространств, размерностей и независимых направлений, без которых такая запись была бы менее естественной.

Герман Грассман 1809-1877

Пример

Пусть W=span{(1,1,0)} в R^3. Вектор x=(a,b,c) лежит в W^perp тогда и только тогда, когда x*(1,1,0)=a+b=0. Значит b=-a, а c свободно. Получаем W^perp={ (a,-a,c) }. Его можно записать как span{(1,-1,0),(0,0,1)}. Размерность W равна 1, размерность W^perp равна 2, сумма равна 3. Если взять любой вектор из W и любой из W^perp, их скалярное произведение действительно равно нулю. Например, (2,2,0)*(1,-1,5)=2-2+0=0, так что найденное описание проверяется на конкретных представителях. При этом сам вектор (1,-1,5) не обязан быть единичным: для дополнения важна перпендикулярность, а не длина.

Частая ошибка

Частая ошибка - проверять ортогональность только к одному случайному вектору из W, а не к базису W. Достаточно проверять базис, но не произвольный неполный набор. Вторая ошибка - думать, что W^perp состоит из одного нормального вектора. Для прямой в R^3 ортогональное дополнение является плоскостью. Третья ошибка - забывать, что нулевой вектор лежит в любом ортогональном дополнении. Еще одна ошибка - путать W^perp с дополнением множества: это подпространство, а не все векторы вне W.

Практика

Задачи с решением

Найти дополнение к прямой

Условие. Найдите W^perp для W=span{(2,0)} в R^2.

Решение. Пусть x=(a,b). Условие x*(2,0)=2a=0 дает a=0, b свободно.

Ответ. W^perp=span{(0,1)}.

Проверить размерность

Условие. Если W - плоскость в R^5 размерности 2, чему равна dim W^perp?

Решение. По формуле dim W + dim W^perp = 5. Значит dim W^perp=3.

Ответ. 3.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Orthogonal Vectors and Subspaces
  • Interactive Linear Algebra, Margalit and Rabinoff, Orthogonal Complements
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, Orthogonal Complements

Связанные формулы

Математика

Ортогональность векторов через скалярное произведение

$u\cdot v=0$

Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы.

Математика

Размерность векторного пространства

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства.

Математика

Теорема о ранге и дефекте

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.

Математика

Расстояние до подпространства через проекцию

$\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$

Расстояние от вектора x до подпространства W равно длине ортогонального остатка после проекции x на W. Проекция дает ближайший вектор внутри W.