Математика / Прямые, плоскости

Производная параметрической кривой

Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0

parametric-slope Визуальное пояснение

Касательная к параметрической кривой определяется отношением вертикальной и горизонтальной скоростей точки.

Наклон как отношение dy/dt к dx/dt.

Обозначения

$x(t),y(t)$: координаты точки кривой как функции параметра, единицы координат
$t$: параметр движения или построения кривой, зависит от задачи
$dy/dx$: наклон касательной к кривой, отношение единиц y к единицам x

Когда применять

Формула применяется для нахождения наклона касательной к кривой, заданной параметрически, когда y не выражена напрямую как функция x. На практике формулу применяют после выбора системы координат и проверки ограничений: углы должны быть в радианах, параметр должен лежать в заданном промежутке, а особые точки нужно рассматривать отдельно. Такой порядок защищает от типичной ошибки, когда красивое выражение подставляют вне его области применимости.

Условия применения

Функции x(t) и y(t) дифференцируемы в рассматриваемой точке.
Производная dx/dt не равна нулю для обычного наклона касательной.
Параметр t должен соответствовать одной и той же точке в обеих координатах.

Ограничения

Если dx/dt=0, формула в виде конечного отношения не дает обычный наклон; возможна вертикальная касательная.
Если одновременно dx/dt=0 и dy/dt=0, точка требует отдельного анализа.
Параметризация может проходить одну точку несколько раз с разными касательными.

Подробное объяснение

Если точка кривой движется по параметру t, то изменение y относительно x можно представить как цепочку изменений: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). Это не отдельное правило для одной кривой, а применение идеи производной сложной зависимости. В аналитической геометрии важно не просто записать формулу, а понять, какая система координат или параметризация делает задачу короче. Полярные координаты удобны, когда объект естественно описывается расстоянием от одной точки и углом: окружности с центром в полюсе, лучи, спирали, некоторые коники и области с радиальной симметрией. Параметрические кривые удобны, когда точка движется во времени или когда зависимость y от x нельзя безопасно выразить одной функцией. Поэтому перед расчетом нужно выбрать модель: обычная декартова запись, полярная запись или параметр. После выбора модели обязательно проверяют область углов, знак радиуса, нулевые знаменатели и особые точки кривой. Для этой формулы ключевая проверка такая: если параметризация задает обычную функцию x=t, y=f(t), формула должна вернуться к привычной производной f'(x). Если проверка не выполняется, нужно вернуться к условиям задачи и выбрать другую запись, потому что формула могла попасть в вырожденный или пограничный случай.

Как пользоваться формулой

Найдите dx/dt и dy/dt.
Проверьте, что dx/dt не равно нулю в нужной точке.
Разделите dy/dt на dx/dt.
Подставьте значение параметра и интерпретируйте наклон касательной.

Историческая справка

Параметрические кривые стали естественным языком для движения и механики: точка может иметь координаты, зависящие от времени, даже если y не является однозначной функцией x. Исторически координатный метод вырос из работ Рене Декарта и Пьера Ферма, где геометрические объекты начали систематически переводить на язык уравнений. Полярные координаты и параметрические описания стали особенно важны вместе с развитием математического анализа в XVII-XVIII веках: движение, касательные, площади и длины кривых потребовали описывать точку не только через x и y, но и через угол, расстояние или параметр. Ньютон и Лейбниц развивали методы анализа, которые позже стали стандартным языком для производных параметрических кривых, длин дуг и площадей. Современная учебная запись формул является результатом этой общей линии, а не изобретением одного автора.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в школьно-вузовском смысле. Корректнее говорить о развитии координатного метода у Декарта и Ферма, а для производных, касательных, длин дуг и площадей - о связи с аналитическими методами Ньютона, Лейбница и последующей учебной традиции анализа.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Для x=t², y=t³ имеем dx/dt=2t, dy/dt=3t². При t=2 наклон dy/dx=12/4=3. Для окружности x=cos t, y=sin t при t=π/4 получаем dx/dt=-sin t, dy/dt=cos t, поэтому dy/dx=-cot t=-1. Обе проверки показывают, что наклон зависит не только от положения точки, но и от локального направления параметризации. После вычисления полезно сделать обратную проверку: подставить результат в исходную запись, оценить знак, единицы измерения и геометрический смысл. Если ответ описывает точку, она должна оказаться на нужной кривой; если ответ описывает длину или площадь, он не может быть отрицательным. В задачах с полярными координатами дополнительно проверяют, не описывается ли одна и та же точка несколькими парами (r, φ).

Частая ошибка

Частая ошибка - делить y(t) на x(t) вместо деления производных. Другая ошибка - использовать формулу при dx/dt=0 и получать деление на ноль, хотя геометрически это может быть нормальная вертикальная касательная. Еще одна частая ошибка - механически переносить декартову интуицию на полярную или параметрическую запись. В полярных координатах один и тот же объект может иметь несколько эквивалентных уравнений, а в параметрической форме вертикальная касательная не является ошибкой: просто в этой точке dx/dt обращается в ноль. Перед финальным ответом нужно отдельно проверить особые значения угла или параметра.

Практика

Задачи с решением

Наклон кубической параметризации

Условие. x=t², y=t³. Найдите dy/dx при t=3.

Решение. dx/dt=2t, dy/dt=3t². При t=3 получаем dy/dx=27/6=9/2.

Ответ. 9/2

Окружность

Условие. x=cos t, y=sin t. Найдите наклон при t=π/3.

Решение. dy/dx=cos t/(-sin t)=-cot t. При t=π/3 это -1/√3.

Ответ. -1/√3

Дополнительные источники

OpenStax. Calculus Volume 2, Parametric Equations and Polar Coordinates.
Paul Dawkins. Lamar University Calculus II, Parametric Equations and Polar Coordinates.

Связанные формулы

Математика

Касательная к параметрической кривой

$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$

Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.

Математика

Длина дуги параметрической кривой

$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.

Математика

Кривизна параметрической кривой

$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$

Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.

Математика

Угловой коэффициент прямой по двум точкам

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.