Матрицы, определители

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

$Ax=b$

$\left[A\mid b\right]$

$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$

$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$

$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$

$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$

$\operatorname{rref}(A)$

$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$

$\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$

$k=n-\operatorname{rank}A$

$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$

$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

$\operatorname{def}T=\dim\ker T$

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$

$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

$A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

$L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$

$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$

$A e_j=a_j=T(e_j)$

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

$[S\circ T]=[S][T]$

$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

$\det(A-\lambda I)=0$

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$

$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$

$A=PDP^{-1}$

$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$

$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$

$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$

$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$

$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$

$f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$

$J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$

$[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$

$u\cdot v=0$

$\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$

$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$

$x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$

$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$

$\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$

$P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$

$W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$

$Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$

$\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$

$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$

$v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$

$q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$

$u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$

$R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$

$A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$

$P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$

$\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$

$A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$

$r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$

$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$

$x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$

$q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$

$x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$

$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$

$A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.$

$\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$

$\hat x_{\mathrm{LS}}=\arg\min_{x\in\mathbb R^n} \|Ax-b\|_2^2 = \arg\min_x (Ax-b)^\top (Ax-b).$

$A^\top A\,\hat x = A^\top b.$

$r=b-A\hat x,\quad A^\top r=0.$

$\hat x=(A^\top A)^{-1}A^\top b,\qquad A^\top A\ \text{невырождена}.$

$A^\top A = LL^\top,\; L y=A^\top b,\; L^\top \hat x = y.$

$\kappa_2(A^\top A)=\frac{\sigma_{\max}^2}{\sigma_{\min}^2}=\kappa_2(A)^2.$

$A=QR,\quad Q^\top Q=I,\quad \|Ax-b\|_2^2=\|Rx-Q^\top b\|_2^2+\|Q_\perp^\top b\|_2^2.$

$\hat x=A^+b,\qquad A^+=(A^\top A)^{-1}A^\top\ (\operatorname{rank}(A)=n).$

$\hat b = A\hat x = A A^+ b,\qquad P=AA^+,\ P^\top=P,\ P^2=P.$

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{12} & c_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\end{bmatrix},\;\Delta=c_{11}c_{22}-c_{12}^2,\\ x_1=\frac{c_{22}d_1-c_{12}d_2}{\Delta},\quad x_2=\frac{-c_{12}d_1+c_{11}d_2}{\Delta}. \end{aligned}$

$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$

$\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$

$\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$

$\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$

$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$

$S=D-CA^{-1}B$

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$

$\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$

$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$

$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$