Математика / Арифметика и теория чисел

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

p>1,\;D(p)=\{1,p\}

Обозначения

$p$: простое число, натуральное число
$D(p)$: множество натуральных делителей числа p, делители
$1$: единица, не относящаяся ни к простым, ни к составным числам, число

Условия применения

Рассматриваются натуральные числа.
Число больше 1, если его хотят назвать простым или составным.
Делители проверяются без остатка.

Ограничения

Число 1 не является простым, хотя имеет один делитель.
Четность не означает составность для числа 2: число 2 простое.
Для больших чисел проверка простоты может требовать нескольких делений или специальных методов.

Подробное объяснение

Простые и составные числа описывают, как натуральные числа раскладываются на множители. Простое число нельзя получить произведением двух натуральных чисел больше 1. Составное число можно представить таким произведением. Например, 21 = 3 · 7, поэтому 21 составное. А 13 нельзя разложить на два множителя больше 1, значит 13 простое.

В 6 классе это понятие нужно не ради классификации чисел, а для дальнейших действий. Разложение на простые множители, НОД, НОК и сокращение дробей строятся на том, что составные числа можно разобрать на простые множители. Простые числа работают как элементарные множители, из которых собираются остальные натуральные числа.

Число 1 выделяют отдельно. Если бы 1 считали простым, разложение на простые множители перестало бы быть однозначным: можно было бы бесконечно дописывать множитель 1. Поэтому в школьной и современной математике 1 не простое и не составное. Это соглашение делает разложения удобными и однозначными.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что число натуральное и больше 1.
Найдите натуральные делители числа.
Если делителей ровно два, число простое.
Если делителей больше двух, число составное.

Историческая справка

Простые числа изучались еще в древнегреческой математике. В «Началах» Евклида простые числа и делимость занимают важное место, а доказательство бесконечности простых чисел стало одним из классических результатов теории чисел. Практическая арифметика использовала простые множители для упрощения вычислений и сравнения чисел.

В школьном курсе 6 класса простые числа вводятся как основа разложения натуральных чисел. Исторически эта идея стала мостом между обычным счетом и теорией чисел: чтобы понять составное число, его разбирают на простые множители. Поэтому тема одновременно простая по формулировке и очень глубокая по последствиям. Она нужна не только для таблицы делителей, но и для будущих рассуждений о НОД, НОК и свойствах чисел.

Историческая линия формулы

Понятие простого числа не имеет одного изобретателя, но его раннее системное изучение связано с древнегреческой математикой и Евклидом. Современная школьная формулировка продолжает эту традицию делимости и разложения натуральных чисел.

Пример

Число 17 делится только на 1 и на 17, поэтому оно простое. Число 18 делится на 1, 2, 3, 6, 9 и 18, поэтому оно составное. Число 1 нельзя назвать простым, потому что у него только один натуральный делитель, а у простого числа должно быть ровно два. В задачах 6 класса это различие важно при разложении: 18 можно представить как 2 · 3 · 3, а 17 уже не раскладывается на меньшие натуральные множители, кроме умножения на 1. Поэтому простое число часто становится конечной точкой разложения, где дальнейшее деление прекращают.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать число 1 простым. Вторая ошибка - называть все нечетные числа простыми: 9, 15 и 21 нечетные, но составные. Третья ошибка - забывать, что 2 является единственным четным простым числом. Еще одна ошибка - проверять делимость только на 2 и сразу объявлять число простым; нужно проверить возможные делители хотя бы до квадратного корня из числа в более сложных случаях.

Практика

Задачи с решением

Классификация чисел

Условие. Определите, какие числа простые: 11, 15, 19, 21.

Решение. 11 делится только на 1 и 11, значит простое. 15 = 3 · 5, составное. 19 простое. 21 = 3 · 7, составное.

Ответ. Простые: 11 и 19.

Почему 1 не подходит

Условие. Можно ли назвать число 1 простым?

Решение. Нет. У простого числа ровно два натуральных делителя, а у 1 только один делитель: само число 1.

Ответ. Нельзя.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Prealgebra 2e: Prime factorization

Связанные формулы

Математика

Разложение числа на простые множители

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

Математика

Наибольший общий делитель

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.

Математика

Наименьшее общее кратное

$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$

Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.