Математика / Пределы, ряды

Нормаль к графику функции

Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0

normal-line Перпендикуляр к касательной

На рисунке показаны кривая, касательная и нормаль в одной точке. Видно, что нормаль образует прямой угол с касательной и проходит через ту же точку.

Нормаль перпендикулярна касательной в точке графика.

Обозначения

$x_0$: точка, в которой строят нормаль, единицы аргумента
$f'(x_0)$: наклон касательной в точке, отношение единиц y к единицам x
$y_0$: ордината точки на графике, равная f(x_0), единицы функции

Условия применения

Функция должна быть дифференцируема в точке x_0.
Если f'(x_0)\neq 0, нормаль имеет обычную формулу с наклоном -1/f'(x_0).
Если f'(x_0)=0, нормаль вертикальна и записывается как x=x_0.

Ограничения

Нормаль определена только там, где есть касательная в обычном смысле.
При вертикальной касательной стандартная формула через -1/f' уже не работает.
Перпендикулярность нужно проверять по произведению наклонов, а не только по виду формулы.

Подробное объяснение

Нормаль дополняет касательную: если касательная показывает направление движения графика, то нормаль показывает направление, которое этому движению перпендикулярно. В координатах это удобно сводится к взаимно обратным наклонам. Поэтому нормаль часто считают не отдельной темой, а продолжением геометрического смысла производной. Нормаль к графику строится через касательную: это прямая, проходящая через точку графика и перпендикулярная касательной. Если касательная имеет наклон k=f'(x_0) и k не равен нулю, то наклон перпендикулярной прямой равен -1/k. Отсюда получается формула y-f(x_0)=-(1/f'(x_0))(x-x_0). Но у этой записи есть важное исключение: когда f'(x_0)=0, касательная горизонтальна, а нормаль вертикальна и записывается как x=x_0. Еще один особый случай возникает при вертикальной касательной, где обычная производная как конечный наклон не описывает касательную; тогда нормаль может быть горизонтальной, но задача требует отдельной постановки. Нормаль полезна в геометрии кривых, оптике, механике и численных методах, где нужно направление, перпендикулярное поверхности или траектории. В школьно-вузовских задачах она чаще всего проверяет понимание связи наклонов и аккуратность с особыми случаями.

Как пользоваться формулой

Найдите точку x_0 и значение f(x_0).
Вычислите производную и подставьте x_0.
Если f'(x_0)\neq 0, возьмите наклон -1/f'(x_0); если f'(x_0)=0, пишите x=x_0.
Запишите уравнение прямой через точку и проверьте перпендикулярность.

Историческая справка

Понятие нормали возникло вместе с классической геометрией кривых, когда математики начали описывать не только касательное направление, но и перпендикуляр к нему. В анализе эта идея стала особенно полезной после появления производной, потому что нормаль можно выразить через наклон касательной в одной строке. Понятие нормали возникло из геометрии кривых и задач о перпендикулярных направлениях. В классической механике и оптике нормаль помогает описывать отражение, давление, контакт и направление силы. После появления дифференциального исчисления нормаль стала вычисляться так же системно, как касательная: сначала находят наклон касательной, затем используют перпендикулярность. В дальнейшем эта идея перешла в дифференциальную геометрию, где нормальные направления к кривым и поверхностям стали отдельным языком для кривизны, движения и оптимизации.

Историческая линия формулы

Нормаль как геометрический объект относится к классической аналитической геометрии; ее связь с производной закрепили Ньютон, Лейбниц и Коши. Формула нормали не имеет единственного автора. Она опирается на элементарную аналитическую геометрию прямых и на производную как наклон касательной, поэтому исторически относится к развитию координатного метода и дифференциального исчисления.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для f(x)=x^2 в точке x_0=1 имеем f(1)=1 и f'(1)=2. Наклон нормали равен -1/2, поэтому ее уравнение: y-1=-\frac12(x-1). Для f(x)=x^2 в точке x_0=1 касательная имеет наклон f'(1)=2, поэтому нормаль имеет наклон -1/2. Точка графика равна (1,1), значит нормаль: y-1=-(1/2)(x-1). Проверка перпендикулярности проста: произведение наклонов 2*(-1/2)=-1. Если бы производная в точке была равна нулю, например у f(x)=x^2 в x_0=0, касательная была бы горизонтальной, а нормаль вертикальной: x=0. Такой отдельный случай нельзя получить делением на f'(x_0), потому что возникло бы деление на ноль.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - забыть поменять знак при переходе к перпендикуляру. Еще одна - записывать нормаль как просто обратный коэффициент 1/f', хотя нужен именно отрицательный обратный. Если производная равна нулю, нельзя механически делить на нее: нормаль становится вертикальной.

Практика

Задачи с решением

Нормаль к параболе

Условие. Найдите уравнение нормали к графику f(x)=x^2 в точке x_0=1.

Решение. f'(1)=2, значит наклон нормали -1/2. Через точку (1,1): y-1=-\frac12(x-1). Наклон нормали проверяется произведением с наклоном касательной: для непараллельных осей оно должно быть равно -1.

Ответ. y-1=-\frac12(x-1)

Случай горизонтальной касательной

Условие. Найдите нормаль к графику f(x)=x^2 в точке x_0=0.

Решение. f'(0)=0, касательная горизонтальна, поэтому нормаль вертикальна. Наклон нормали проверяется произведением с наклоном касательной: для непараллельных осей оно должно быть равно -1.

Ответ. x=0

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, tangent and normal lines
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, geometry of derivatives
Thomas' Calculus, tangent and normal lines
Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique, 1821
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on limits and derivatives

Связанные формулы

Математика

Геометрический смысл производной

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.

Математика

Непрерывность функции в точке

$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.

Математика

Предел функции в точке

$\lim_{x\to a} f(x)=L$

Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке.