Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

След матрицы

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраМатрицыСобственные значения и векторыКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$$
Схема Главная диагональ матрицы

След складывает элементы только на диагонали a11, a22, ..., ann.

Элементы вне главной диагонали в след не входят.

Обозначения

$\operatorname{tr}A$
след матрицы A, единица элементов диагонали
$a_{ii}$
диагональный элемент матрицы, единица элементов матрицы
$n$
размер квадратной матрицы, шт.

Условия применения

  • Матрица должна быть квадратной.
  • Суммируются только элементы главной диагонали от левого верхнего к правому нижнему углу.
  • Элементы диагонали должны быть величинами, которые можно складывать.

Ограничения

  • След не определен для прямоугольной матрицы в стандартном смысле.
  • Одинаковый след не означает одинаковые матрицы или одинаковое поведение преобразований.
  • След дает только сумму диагональных вкладов и не заменяет анализ определителя, ранга и собственных значений.

Подробное объяснение

След - одна из самых простых числовых характеристик квадратной матрицы. Его легко вычислить: нужно сложить элементы, у которых номер строки равен номеру столбца. Но за простой формулой стоит важное свойство: след не меняется при переходе к подобной матрице, то есть при описании того же линейного преобразования в другом базисе.

Именно поэтому след связан с собственными значениями. Если матрица диагонализуема, то в базисе из собственных векторов она превращается в диагональную матрицу, а на диагонали стоят собственные значения. След диагональной матрицы равен их сумме. Так как след сохраняется при замене базиса, эта сумма совпадает со следом исходной матрицы. В более общем случае утверждение остается верным с учетом алгебраической кратности собственных значений.

Для матрицы 2 x 2 след вместе с определителем дает характеристический многочлен: lambda^2 - tr(A)lambda + det(A). Это делает след удобным для быстрого анализа динамических систем на плоскости, линейных преобразований и учебных задач на собственные значения.

При этом след нельзя переоценивать. Он сжимает всю матрицу в одно число и теряет много информации. Две разные матрицы могут иметь одинаковый след, но разные определители, ранги, собственные значения и геометрический смысл. Поэтому след полезен как часть набора характеристик, а не как единственный диагноз матрицы.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что матрица квадратная.
  2. Найдите элементы главной диагонали a11, a22, ..., ann.
  3. Сложите только эти элементы.
  4. Используйте результат как числовую характеристику матрицы.
  5. При анализе собственных значений сопоставьте след с их суммой.

Историческая справка

След матрицы появился как естественная характеристика линейных преобразований и матриц после становления матричной алгебры в XIX веке. Название trace закрепилось в англоязычной традиции как образ суммы диагональных элементов. С развитием теории собственных значений след получил более глубокий смысл: он оказался инвариантом при подобии матриц и равен сумме собственных значений. Это сделало его важным в дифференциальных уравнениях, механике, теории представлений, статистике и квантовой теории. В современной линейной алгебре след часто вводят как простую операцию, но затем используют в более продвинутых результатах: свойства tr(AB) = tr(BA), производные матричных выражений, матричные нормы и анализ линейных операторов.

Историческая линия формулы

У следа матрицы нет одного автора. Операция возникла внутри матричной алгебры и теории линейных преобразований. Ее значение усилилось благодаря развитию теории собственных значений и инвариантов, где след стал одной из базовых характеристик оператора.

Пример

Пусть A = [[2, 5, 0], [1, -3, 4], [7, 2, 6]]. След равен сумме диагональных элементов: tr A = 2 + (-3) + 6 = 5. Важно, что элементы вне диагонали, например 5, 4, 7, в след не входят. Если матрица описывает линейное преобразование, след связан с суммарным эффектом преобразования вдоль собственных направлений: при наличии собственных значений их сумма с учетом кратности равна следу. Для матрицы 2 x 2 [[a, b], [c, d]] след равен a + d и входит в характеристический многочлен lambda^2 - tr(A)lambda + det(A). Поэтому след часто появляется рядом с определителем.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать все элементы матрицы, а не только главную диагональ. Вторая ошибка - брать побочную диагональ вместо главной. Третья ошибка - применять след к прямоугольной матрице без специального контекста. Еще одна ошибка - делать слишком сильные выводы: равенство следов двух матриц не означает равенство собственных значений по отдельности, не означает равенство определителей и не гарантирует похожее поведение преобразований.

Практика

Задачи с решением

След матрицы 3 x 3

Условие. Найдите tr A для A = [[4, 1, 9], [0, -2, 3], [5, 8, 7]].

Решение. Берем главную диагональ: 4, -2, 7. Складываем: 4 - 2 + 7 = 9.

Ответ. 9

Связь со следом 2 x 2

Условие. Матрица A = [[3, 10], [1, -4]]. Найдите след и коэффициент при lambda в характеристическом многочлене lambda^2 - tr(A)lambda + det(A).

Решение. След равен 3 + (-4) = -1. В многочлене стоит -tr(A)lambda, то есть -(-1)lambda = +lambda.

Ответ. tr(A) = -1, коэффициент при lambda равен 1

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, unit on eigenvalues and trace
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter Five: Similarity
  • OpenStax Precalculus 9.5 Matrices and Matrix Operations

Связанные формулы

Математика

Характеристический многочлен матрицы 2x2

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Математика

Скалярное произведение векторов

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.