Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Алгебраическая кратность собственного значения

Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыХарактеристический многочлен

Формула

$$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$$
multiplicity-factor Кратность как степень множителя

Визуал выделяет повторяющийся множитель (lambda-lambda0)^k в характеристическом многочлене.

Алгебраическая кратность живет в многочлене, а не в списке найденных векторов.

Обозначения

$p_A(\lambda)$
характеристический многочлен матрицы A, многочлен
$\lambda_0$
собственное значение, число
$k$
алгебраическая кратность lambda0, целое положительное число
$q(\lambda)$
оставшийся множитель, не обращающийся в ноль при lambda0, многочлен

Условия применения

  • lambda0 должно быть корнем характеристического многочлена.
  • Характеристический многочлен должен быть разложен хотя бы локально по множителю lambda-lambda0.
  • Кратность считается с учетом выбранного поля: над комплексными числами все корни учитываются полностью.

Ограничения

  • Алгебраическая кратность не равна автоматически числу независимых собственных векторов.
  • Для точного разложения многочлена высокой степени могут потребоваться численные или символические методы.
  • Если корень кратный, вычисления чувствительны к округлению: близкие корни могут выглядеть как один повторный.

Подробное объяснение

Алгебраическая кратность относится к характеристическому многочлену. Если lambda0 является корнем, то p_A(lambda0)=0. Если не только сам многочлен, но и несколько первых производных обращаются в ноль, корень может быть кратным. В факторизованной форме это проще всего увидеть как степень множителя (lambda-lambda0)^k.

Сумма алгебраических кратностей всех собственных значений над комплексными числами равна размеру матрицы. Это следует из основной теоремы алгебры: характеристический многочлен степени n раскладывается на n линейных множителей с учетом повторений. Поэтому алгебраическая кратность отвечает за счет собственных значений в многочлене, а не за размерность собственных пространств.

Кратность важна для диагонализации. Если собственное значение имеет алгебраическую кратность 1, то его геометрическая кратность тоже равна 1. Если кратность больше 1, нужно отдельно проверить, сколько независимых собственных векторов существует. Именно здесь появляются дефектные матрицы и жордановы блоки.

Алгебраическая кратность также связывает собственные значения со следом и определителем. Когда характеристический многочлен раскладывается на множители, каждое собственное значение входит в сумму и произведение столько раз, какова его алгебраическая кратность.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите характеристический многочлен p_A(lambda).
  2. Разложите его на множители или найдите корни с повторениями.
  3. Для каждого собственного значения lambda0 определите степень множителя lambda-lambda0.
  4. Запишите эту степень как алгебраическую кратность.
  5. Сравните ее с геометрической кратностью через dim ker(A-lambda0 I).

Историческая справка

Понятие алгебраической кратности выросло из общей теории многочленов и характеристических уравнений. Когда собственные значения стали находить как корни характеристического многочлена, естественно возник вопрос: как учитывать повторяющиеся корни. В задачах линейных преобразований повторность корня оказалась не просто технической деталью, а признаком возможной нехватки собственных направлений. Работы XIX века по детерминантам, матрицам и нормальным формам постепенно привели к современному различению алгебраической и геометрической кратности. Камиль Жордан важен именно для понимания того, что повторный корень может давать жордановы блоки, если собственных векторов недостаточно.

Историческая линия формулы

Алгебраическая кратность не является персональной формулой одного автора. Она соединяет теорию корней многочленов, характеристические уравнения и нормальные формы линейных операторов; исторически здесь уместны Коши, Кэли, Гамильтон и Камиль Жордан.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865Камиль Жордан 1838-1922

Пример

Пусть p_A(lambda)=(lambda-2)^3(lambda+1). Тогда lambda=2 является собственным значением с алгебраической кратностью 3, а lambda=-1 - с алгебраической кратностью 1. Если A имеет размер 4 x 4, сумма алгебраических кратностей равна 4. Но это еще не говорит, что для lambda=2 найдутся три независимых собственных вектора. Например, может оказаться, что dim E_2=1 или dim E_2=2. Для диагонализации нужно сравнить алгебраическую кратность с геометрической: если для каждого собственного значения они совпадают и суммарно дают размерность пространства, можно собрать базис из собственных векторов.

Частая ошибка

Частая ошибка - читать показатель степени фактора как число собственных векторов. Это число корней с повторениями, а собственные векторы считаются через ядро A-lambda I. Вторая ошибка - забывать комплексные корни: над R многочлен может не раскладываться на линейные множители, но над C алгебраические кратности всех корней суммируются в n. Третья ошибка - считать кратность только по списку разных собственных значений без повторений.

Практика

Задачи с решением

Прочитать кратности из многочлена

Условие. p_A(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-4)^3. Найдите алгебраические кратности.

Решение. Показатель у множителя lambda-1 равен 2, у множителя lambda-4 равен 3.

Ответ. lambda=1 имеет кратность 2, lambda=4 имеет кратность 3.

Проверить размер матрицы

Условие. Может ли p_A(lambda)=(lambda+1)^2(lambda-3) быть характеристическим многочленом матрицы 4 x 4?

Решение. Степень многочлена равна 2+1=3. Для матрицы 4 x 4 характеристический многочлен должен иметь степень 4.

Ответ. Нет, не может.

Дополнительные источники

  • TUDelft Interactive Linear Algebra, algebraic and geometric multiplicity
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, characteristic roots and multiplicity
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, eigenvalues

Связанные формулы

Математика

Характеристический многочлен общей матрицы

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.

Математика

Геометрическая кратность собственного значения

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.

Математика

Собственное пространство матрицы

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Математика

Спектр матрицы

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.