Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Произведение одночленов

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классАлгебраМногочлены, разложение на множителиЕсть историческая справка

Формула

$$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$$

Обозначения

a, b
коэффициенты одночленов
$x$
общее основание степени
m, n
неотрицательные целые показатели степеней в школьном курсе 7 класса

Условия применения

  • Одночлены записаны как произведения чисел, переменных и степеней переменных.
  • Показатели степеней у одинаковых оснований складываются.
  • Коэффициенты перемножаются с учетом знаков.

Ограничения

  • Показатели складываются только у одинаковых оснований: x^2 и y^3 не превращаются в одну степень.
  • Нельзя складывать коэффициенты при умножении; их именно перемножают.
  • В 7 классе обычно работают с натуральными и нулевыми показателями, не смешивая правило с отрицательными степенями.

Подробное объяснение

Одночлен - это произведение числового коэффициента и буквенных множителей. Поэтому при умножении двух одночленов все множители можно переставить и сгруппировать: числа с числами, одинаковые переменные с одинаковыми переменными. Для чисел работает обычное умножение, а для степеней с одинаковым основанием - правило сложения показателей.

Например, x^2 * x^3 означает x * x * x * x * x, то есть x^5. Отсюда видно, почему показатели складываются: они просто считают общее число одинаковых множителей.

Эта формула является подготовкой к умножению многочлена на одночлен и многочлена на многочлен. В каждом таком действии отдельные пары членов фактически перемножаются как одночлены.

Важно отделять числовую часть от буквенной. Сначала знак и коэффициент, потом степени одинаковых переменных, затем переменные, которые встретились только в одном множителе. Такой порядок снижает риск потерять букву, ошибиться со знаком или записать результат не в стандартном виде.

Как пользоваться формулой

  1. Перемножьте числовые коэффициенты.
  2. Сгруппируйте одинаковые переменные.
  3. Сложите показатели степеней у одинаковых оснований.
  4. Запишите переменные в принятом порядке.
  5. Проверьте знак результата.

Историческая справка

Правила работы с одночленами связаны с развитием буквенной алгебры и степенной записи. До современной символики степени и неизвестные часто описывали словами, что делало преобразования громоздкими. Когда буквенная запись стала обычной, правило умножения степеней позволило коротко записывать повторяющиеся множители и строить системный курс алгебры. В школьном изложении произведение одночленов соединяет арифметику, свойства умножения и буквенную запись. Это не изолированный факт, а результат длительного упрощения математического языка: от словесных описаний произведений к компактным выражениям вида -15x^3y^5. Поэтому тема показывает, как арифметическое правило повторного умножения превращается в универсальный инструмент работы с буквенными выражениями.

Историческая линия формулы

Единственного автора у правила нет. Оно следует из определения степени с натуральным показателем и из законов умножения, которые постепенно оформились в школьную алгебру. Исторически корректнее связывать его не с персональным открытием, а с развитием символической записи степеней и одночленов.

Пример

Найдем произведение (-3x^2y)(5xy^4). Коэффициенты дают -3 * 5 = -15. Для переменной x складываем показатели: x^2 * x = x^3. Для переменной y: y * y^4 = y^5. Значит, (-3x^2y)(5xy^4) = -15x^3y^5. Проверка структуры: степень по x стала 3, степень по y стала 5, знак отрицательный, потому что перемножались отрицательный и положительный коэффициенты. Можно раскрыть смысл степеней: x^2 и еще один x дают три множителя x, а y и y^4 дают пять множителей y. Такая проверка помогает не путать сложение показателей при умножении степеней с умножением показателей при возведении степени в степень.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - сложить коэффициенты вместо умножения: (-3) и 5 дают -15, а не 2. Вторая ошибка - перемножить показатели степеней вместо сложения: x^2 * x^3 = x^5, а не x^6. Еще важно не терять переменные, которые встречаются только в одном множителе: если умножается 2a^2 на 3b, результат 6a^2b, а не 6ab.

Практика

Задачи с решением

Перемножить одночлены

Условие. Найдите произведение 4a^2b и -3ab^3.

Решение. Коэффициенты: 4 * (-3) = -12. Переменная a: a^2 * a = a^3. Переменная b: b * b^3 = b^4.

Ответ. -12a^3b^4

Исправить ошибку

Условие. Ученик написал: 2x^3 * 5x^2 = 10x^6. Где ошибка?

Решение. Коэффициент 10 найден верно. Ошибка в степенях: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, поэтому 3 + 2 = 5.

Ответ. Правильно: 10x^5

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: разделы об одночленах, многочленах и линейных уравнениях
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: алгебраические выражения, уравнения и системы

Связанные формулы

Математика

Степень одночлена

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

Математика

Умножение многочлена на одночлен

$a(b + c) = ab + ac$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.