Все формулы РФ

Математика / Точка, прямая

Площадь составной фигуры через вычитание

Площадь фигуры с вырезом можно найти как площадь большого прямоугольника минус площадь удаленной части, если вырез полностью находится внутри.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 4 классВеличины и единицы измеренияДлина, массаНачальная геометрияТочка, прямаяКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$S=S_{\text{большая}}-S_{\text{вырез}}$$
Схема Вычитание площади выреза
S большаявырезS = Sбольшая - Sвырез

S = Sбольшая - Sвырез.

Обозначения

$S$
площадь оставшейся фигуры, см², дм², м², квадратные клетки
$Sбольшая$
площадь прямоугольника до выреза, квадратные единицы
$Sвырез$
площадь удаленной части, квадратные единицы

Условия применения

  • Фигура может быть представлена как большая фигура без некоторой части.
  • Площадь выреза полностью находится внутри большой фигуры.
  • Площади большой фигуры и выреза выражены в одинаковых единицах.

Ограничения

  • Если вырезов несколько, нужно вычесть площадь каждого выреза.
  • Если вырез выходит за границу большой фигуры, такая модель не подходит.
  • Если проще разбить фигуру на непересекающиеся части, можно использовать сумму площадей вместо вычитания.

Подробное объяснение

Иногда составную фигуру удобнее не делить на части, а представить как большую простую фигуру, из которой что-то удалили. Тогда площадь оставшейся фигуры равна площади большого прямоугольника без площади выреза. Это обычное вычитание, но применяется не к длинам, а к площадям.

На клетчатой бумаге это видно особенно хорошо. Если весь прямоугольник содержит 60 клеток, а вырез содержит 6 клеток, после удаления останется 54 клетки. Формула S = Sбольшая - Sвырез просто записывает этот счет коротко. Важно, что сначала находят площади, а не вычитают стороны.

Выбор между сложением и вычитанием зависит от рисунка. Если фигуру легко разрезать на прямоугольники, можно сложить части. Если фигура выглядит как большой прямоугольник с отсутствующим кусочком, часто быстрее вычесть вырез. Оба способа должны давать один и тот же результат, если выполнены правильно и единицы совпадают в ответе задачи на площадь.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите большую фигуру, из которой получена нужная фигура.
  2. Вычислите площадь большой фигуры.
  3. Вычислите площадь выреза или удаленной части.
  4. Вычтите площадь выреза из площади большой фигуры и запишите квадратные единицы.

Историческая справка

Вычитание площадей возникло из тех же практических задач, что и сложение площадей. При измерении участков, построек или материалов часто нужно было исключить часть: двор без дома, поле без пруда, лист без выреза, рамку без середины. Поэтому люди считали сначала большую площадь, а затем убирали ненужную часть.

В школьной геометрии этот прием важен тем, что показывает гибкость работы с площадями. Не для каждой фигуры нужна новая формула. Иногда достаточно увидеть, из какой простой фигуры она получена. В старших классах похожая идея будет использоваться в более сложных задачах на площади, но ее основа остается той же: целое минус часть фигуры внутри.

Историческая линия формулы

У правила вычитания площади выреза нет одного автора. Оно следует из свойства площади: если часть удалена из целого, площадь оставшейся области равна площади целого минус площадь удаленной части в тех же единицах измерения.

Пример

Есть прямоугольная карточка 10 см на 6 см. Из нее вырезали прямоугольник 3 см на 2 см. Сначала найдем площадь большой карточки: 10 · 6 = 60 см². Затем площадь выреза: 3 · 2 = 6 см². Оставшаяся площадь равна 60 - 6 = 54 см². Эта запись показывает смысл: сначала была вся поверхность, потом часть убрали. Если вырезов два, нужно вычесть оба, иначе ответ будет завышен. Если вырез касается края, способ все равно подходит, пока удаленная часть целиком входит в большой прямоугольник и измерена в тех же единицах.

Частая ошибка

Частая ошибка - сложить площадь выреза с большой площадью, хотя часть удалили. Вторая ошибка - вычесть только одну сторону выреза, например 60 - 3, вместо площади 3 · 2. Третья ошибка - не проверить, что вырез действительно находится внутри большой фигуры. Еще одна ошибка - использовать разные единицы для большой фигуры и выреза без перевода, например м² и дм².

Практика

Задачи с решением

Карточка с вырезом

Условие. Из прямоугольника 12 см на 8 см вырезали прямоугольник 4 см на 3 см. Найдите оставшуюся площадь.

Решение. Sбольшая = 12 · 8 = 96 см². Sвырез = 4 · 3 = 12 см². S = 96 - 12 = 84 см².

Ответ. 84 см²

Участок с прудом

Условие. Прямоугольный участок 20 м на 15 м содержит пруд 6 м на 5 м. Найдите площадь земли без пруда.

Решение. Площадь участка 20 · 15 = 300 м². Площадь пруда 6 · 5 = 30 м². Земля без пруда: 300 - 30 = 270 м².

Ответ. 270 м²

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Math Models and Geometry, area by decomposition

Связанные формулы

Математика

Площадь прямоугольника по клеткам

$S=a\cdot b$

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.

Математика

Перевод квадратных единиц площади

$1\,\text{дм}^2=100\,\text{см}^2,\quad 1\,\text{м}^2=100\,\text{дм}^2=10000\,\text{см}^2$

Квадратные единицы переводятся не как длины: если сторона увеличивается в 10 раз, площадь единичного квадрата увеличивается в 100 раз.