Математика / Пределы, ряды

Правило разности производных

Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)

difference-derivative Знак минус в производной

Визуал может показать два наклона: наклон первой функции и вычитаемый наклон второй функции.

Разность производных сохраняет знак вычитаемой части.

Обозначения

$f(x)$: уменьшаемая дифференцируемая функция, единицы значения функции
$g(x)$: вычитаемая дифференцируемая функция, единицы значения функции
$x$: аргумент дифференцирования, единицы аргумента

Условия применения

Функции f и g должны иметь производные в одной и той же точке или на общем интервале.
Разность f(x)-g(x) должна быть определена в окрестности точки.
Отрицательный знак перед сложной функцией сохраняется до конца вычисления.

Ограничения

Минус перед скобкой нельзя терять при раскрытии производной: он относится ко всей производной вычитаемой функции.
Если вычитаемая функция недифференцируема в точке, то правило разности в этой точке неприменимо.
Правило разности не заменяет правило частного для дробей и не заменяет правило цепочки для вложенных выражений.

Подробное объяснение

Правило разности является тем же свойством линейности производной, что и правило суммы, но с коэффициентом -1 перед одной из функций. Если записать f(x)-g(x) как f(x)+(-1)g(x), то производная равна f'(x)+(-1)g'(x). Это полезно не только для формального вывода, но и для практики: минус лучше воспринимать как постоянный множитель, который переносится к производной целого слагаемого. В задачах на исследование функций правило разности помогает аккуратно разделять вклад растущей и убывающей части. Например, если модель прибыли задана как R(x)-C(x), ее производная равна предельной выручке минус предельные затраты. В геометрии графиков это означает, что локальный наклон разности получается вычитанием локальных наклонов исходных функций. При этом все внутренние сложности остаются на своих местах: если g сама является произведением, дробью или композицией, то после сохранения минуса к ней применяют соответствующее правило.

Как пользоваться формулой

Выделите уменьшаемую и вычитаемую части функции.
Найдите производную первой части.
Найдите производную второй части и сохраните перед ней минус.
Проверьте скобки, если вычитаемая часть состоит из нескольких слагаемых.
Упростите итог и проверьте область определения исходной функции.

Историческая справка

Правило разности закрепилось вместе с общей линейностью дифференцирования. В ранней практике анализа отрицательные величины и разности возникали в задачах о скоростях, отклонениях и балансах, поэтому вычислительное правило было естественным продолжением правила суммы. Строгая формулировка через предел стала стандартной после развития анализа в XIX веке: приращение разности раскладывается в разность приращений, а затем пределы переходят в производные. В учебной традиции правило разности обычно вводят сразу после правила суммы, потому что оба являются частными случаями линейности производной. В русской и европейской учебной традиции его часто вообще не выделяют в отдельную теорему, а рассматривают как применение правила суммы и постоянного множителя -1.

Историческая линия формулы

Правило не имеет отдельного единоличного автора. Его исторически связывают с развитием дифференциального исчисления у Ньютона и Лейбница, а строгую предельную запись - с линией Коши и последующей университетской традицией анализа.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для f(x)=x^5-3x^2-ln x при x>0 производная находится по слагаемым. Производная x^5 равна 5x^4, производная 3x^2 равна 6x, производная ln x равна 1/x. Минусы перед вторым и третьим слагаемыми сохраняются, поэтому f'(x)=5x^4-6x-1/x. Если x=1, получаем f'(1)=5-6-1=-2. Отдельная проверка области определения важна: из-за ln x исходная функция рассматривается только при x>0. В более длинной записи, например f(x)=x^5-3x^2-ln x+7, последний член дает ноль, а все отрицательные знаки сохраняются. Это удобно проверять строкой знаков: плюс у 5x^4, минус у 6x, минус у 1/x, ноль у 7.

Частая ошибка

Чаще всего ошибаются со знаком: записывают (f-g)'=f'+g' или теряют минус перед производной всей скобки. В выражении -sin(x^2) неверно писать просто -cos x; сначала сохраняют минус, затем применяют правило цепочки и получают -2x cos(x^2). Также нельзя забывать область определения, если вычитаемое содержит логарифм, корень или дробь.

Практика

Задачи с решением

Разность степеней

Условие. Найдите производную f(x)=x^4-5x^2.

Решение. Производная x^4 равна 4x^3, производная 5x^2 равна 10x. Значит f'(x)=4x^3-10x.

Ответ. 4x^3-10x

Разность с логарифмом

Условие. Найдите производную g(x)=e^x-ln x при x>0.

Решение. По правилу разности g'(x)=e^x-1/x. Условие x>0 нужно из-за логарифма.

Ответ. e^x-1/x

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило суммы производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$

Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.

Математика

Правило постоянного множителя в производной

$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.