Все формулы РФ

Математика / Функции и графики

Ось симметрии параболы

Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭФункции и графикиПарабола, вершинаКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$x=-\frac{b}{2a}$$
График с зеркальными точками Ось делит параболу пополам

На графике показана вертикальная ось x = -b/(2a), вершина и две симметричные точки с одинаковой ординатой.

Ось симметрии - это прямая, а не отдельная точка.

Обозначения

$x$
абсцисса любой точки оси симметрии
$a$
коэффициент при x^2
$b$
коэффициент при x

Условия применения

  • Функция приведена к стандартному виду y = ax^2 + bx + c.
  • Коэффициент a не равен нулю.
  • Ось симметрии рассматривается для обычной вертикальной параболы, заданной функцией y от x.

Ограничения

  • Формула задает вертикальную прямую, а не точку: для вершины нужна еще ордината y0.
  • Если парабола задана в виде y = a(x-h)^2+k, ось симметрии сразу равна x = h.
  • Нельзя использовать эту формулу для произвольной кривой второй степени, повернутой относительно осей.

Подробное объяснение

Парабола является симметричной кривой: точки на одинаковом расстоянии от оси имеют одинаковые значения y. Ось симметрии проходит через вершину и делит график на две зеркальные части.

Для квадратичной функции в стандартном виде эта ось имеет уравнение x = -b/(2a). Правая часть совпадает с абсциссой вершины, потому что вершина лежит точно на оси симметрии.

Ось симметрии помогает строить график экономно. Если известна точка слева от оси, можно найти симметричную точку справа с тем же значением y. Это уменьшает количество подстановок.

Формула также помогает проверять корни. Если у параболы есть два нуля, ось симметрии проходит через середину отрезка между ними. Поэтому среднее арифметическое корней равно -b/(2a).

В задачах важно записывать ось как уравнение прямой. Ответ x = 3 отличается от вершины (3; y0): первая запись задает всю вертикальную прямую, вторая - одну точку. Если ученик пишет только число, проверяющий может не увидеть, что речь идет именно об оси.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите функцию к виду y = ax^2 + bx + c.
  2. Выпишите коэффициенты a и b с учетом знаков.
  3. Вычислите -b/(2a).
  4. Запишите ответ как уравнение прямой x = найденное число.
  5. Проверьте симметричные значения функции по обе стороны от оси.

Историческая справка

Симметрия параболы была известна в геометрическом изучении конических сечений еще в античности, но школьная формула для оси симметрии появилась из более позднего алгебраического описания графиков. После развития координатного метода параболу стали задавать уравнением y = ax^2 + bx + c, а ее симметрию выводить из коэффициентов. В учебной алгебре эта формула стала удобной связью между уравнением, графиком и корнями квадратного трехчлена. Она помогает видеть в формуле не только вычисление, но и геометрическую форму. Формула x = -b/(2a) отражает переход от геометрического образа к расчетному инструменту: по записи функции можно сразу найти центральную линию графика.

Пример

Для функции y = -2x^2 + 12x - 7 найдите ось симметрии. Здесь a = -2, b = 12. Подставляем: x = -b/(2a) = -12/(2*(-2)) = -12/(-4) = 3. Значит ось симметрии - прямая x = 3. Проверка: возьмем точки x = 2 и x = 4, они одинаково удалены от 3. f(2) = -8 + 24 - 7 = 9, f(4) = -32 + 48 - 7 = 9. Значения совпали, значит ось найдена верно. Вершина тоже лежит на этой прямой. Если нужно построить график, удобно сначала провести пунктирную линию x = 3, затем отмечать пары симметричных точек. Так построение становится короче и надежнее.

Частая ошибка

Частая ошибка - записывать ось как число 3 без x = 3. Ось симметрии - это прямая, а не координата сама по себе. Вторая ошибка - менять знак и получать b/(2a). Третья ошибка - считать, что ось симметрии всегда совпадает с осью Oy; это верно только когда b = 0. Еще одна ошибка - искать ось по двум случайным точкам, которые не являются симметричными.

Практика

Задачи с решением

Ось симметрии

Условие. Найдите ось симметрии y = x^2 + 8x + 5.

Решение. a = 1, b = 8. x = -8/(2*1) = -4.

Ответ. x = -4

Симметрия без линейного члена

Условие. Найдите ось симметрии y = 3x^2 - 2.

Решение. b = 0, поэтому x = -0/(2*3) = 0. Ось совпадает с Oy.

Ответ. x = 0

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Quadratic Functions
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: графики функций

Связанные формулы

Математика

Абсцисса вершины параболы

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины.

Математика

Ордината вершины параболы

$y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции.