Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраВекторыГеометрияКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$$
Схема Скалярное произведение как мера согласованности направлений

Положительный результат соответствует острому углу, нулевой - прямому углу, отрицательный - тупому углу между ненулевыми векторами.

Скалярное произведение связывает координатный расчет с геометрией угла.

Обозначения

$a\cdot b$
скалярное произведение векторов a и b, произведение единиц координат
$a_i$
i-я координата первого вектора, единица координат a
$b_i$
i-я координата второго вектора, единица координат b
$n$
число координат у каждого вектора, шт.

Условия применения

  • Оба вектора должны иметь одинаковое число координат.
  • Координаты должны быть записаны в одной и той же системе базисных направлений.
  • Используется стандартное евклидово скалярное произведение без дополнительных весов.

Ограничения

  • Если координаты имеют разные масштабы, скалярное произведение может отражать масштаб, а не геометрическую близость направлений.
  • В комплексных пространствах стандартное скалярное произведение записывается иначе и включает комплексное сопряжение.
  • Нулевое скалярное произведение означает ортогональность только для выбранного скалярного произведения; при другой метрике результат может измениться.

Подробное объяснение

Скалярное произведение можно понимать двумя способами. Координатная формула говорит: сравните одинаковые координаты двух векторов, перемножьте их и сложите результаты. Геометрическая формула говорит то же через длины и угол: a·b = ||a||||b||cos(phi). Благодаря этой связи скалярное произведение одновременно является вычислительным правилом и геометрическим инструментом.

Если два вектора направлены одинаково, их соответствующие координаты чаще дают положительные вклады, и сумма становится положительной. Если направления противоположны, многие попарные произведения отрицательны. Если векторы перпендикулярны, положительные и отрицательные вклады компенсируются так, что сумма равна нулю. Это свойство делает скалярное произведение главным способом проверять ортогональность в линейной алгебре.

Формула также объясняет, почему длина вектора записывается как ||a|| = sqrt(a·a). Когда вектор умножают сам на себя, каждое попарное произведение становится квадратом координаты: a1^2 + a2^2 + ... + an^2. Поэтому длина, угол и ортогональность оказываются связанными одной операцией.

На практике скалярное произведение требует аккуратности с масштабом. Например, если один признак в данных измеряется в рублях, а другой в долях процента, большие численные значения первого признака могут доминировать в сумме. Поэтому при сравнении направлений в многомерных данных часто сначала нормируют векторы или переходят к косинусной близости.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что у двух векторов одинаковое число координат.
  2. Запишите координаты векторов в одном порядке.
  3. Перемножьте координаты с одинаковыми номерами.
  4. Сложите все попарные произведения.
  5. Интерпретируйте знак и величину результата с учетом длин векторов.

Историческая справка

Скалярное произведение выросло из аналитической геометрии, механики и векторного анализа. В механике уже давно требовалось вычислять работу силы вдоль перемещения, то есть учитывать не только величину силы, но и направление. В XIX веке Уильям Роуэн Гамильтон, Герман Грассман и Джозайя Уиллард Гиббс развивали алгебраические методы работы с направленными величинами. Векторный анализ Гиббса сделал операции с векторами удобными для физики и инженерных дисциплин, а скалярное произведение стало стандартной операцией, возвращающей число. В линейной алгебре XX века скалярное произведение получило более абстрактное значение: оно задает геометрию пространства, позволяет говорить о длине, угле, ортогональности и ортонормированных базисах даже за пределами трехмерной физической интуиции.

Историческая линия формулы

Формулу нельзя честно приписать одному человеку. Ее современная координатная запись связана с развитием аналитической геометрии, а векторная интерпретация - с работами Гамильтона, Грассмана и Гиббса. В учебной линейной алгебре она закрепилась как стандартное евклидово скалярное произведение.

Пример

Пусть a = (2, -1, 5), b = (3, 4, 2). Скалярное произведение равно a·b = 2·3 + (-1)·4 + 5·2 = 6 - 4 + 10 = 12. Это положительное число, значит векторы в среднем направлены согласованно, хотя одна координатная пара дает отрицательный вклад. Если бы результат был 0, векторы были бы перпендикулярны в стандартной евклидовой геометрии. В физике такой расчет появляется, например, в формуле работы силы A = F·s: если сила и перемещение направлены одинаково, работа положительна; если сила направлена против перемещения, вклад становится отрицательным. В анализе данных похожий расчет лежит в основе косинусной близости, где скалярное произведение нормируют длинами векторов.

Частая ошибка

Частая ошибка - перемножать координаты не попарно, а все со всеми. Для скалярного произведения берется только сумма a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Вторая ошибка - забывать знак отрицательных координат: произведение (-1)·4 дает -4, а не 4. Третья ошибка - применять формулу к векторам разной длины, например к двумерному и трехмерному. Еще одна ошибка - считать любое положительное скалярное произведение доказательством почти одинакового направления: без учета длин длинные векторы могут давать большое значение даже при умеренном угле.

Практика

Задачи с решением

Скалярное произведение в R3

Условие. Найдите a·b для a = (1, 4, -2), b = (5, -3, 6).

Решение. Перемножаем координаты попарно: 1·5 + 4·(-3) + (-2)·6 = 5 - 12 - 12 = -19.

Ответ. -19

Проверка ортогональности

Условие. Проверьте, перпендикулярны ли векторы a = (2, 1) и b = (3, -6).

Решение. Скалярное произведение равно 2·3 + 1·(-6) = 6 - 6 = 0. Оба вектора ненулевые, значит они ортогональны.

Ответ. Да, векторы перпендикулярны

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, units on dot products and orthogonality
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter Three: Maps and inner products
  • OpenStax Calculus Volume 3, section on dot products

Связанные формулы

Математика

Длина вектора в Rn

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$

Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат.

Математика

Косинус угла между векторами

$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.