Математика / Пределы, ряды

Критические точки функции

Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}

critical-points Опорные точки для исследования

На кривой отмечены места, где производная равна нулю или не существует. Эти точки делят график на участки, которые удобно проверять отдельно.

Критические точки - это границы для таблицы знаков и анализа поведения функции.

Обозначения

$x_c$: критическая абсцисса, единицы аргумента
$f'(x_c)$: значение производной в критической точке, единицы функции на единицу аргумента
$f(x)$: исследуемая функция, единицы функции

Когда применять

Формула критических точек нужна на этапе разметки графика: сначала находят все точки, в которых поведение функции может измениться, а потом уже проверяют знаки первой и второй производной. Такой шаг экономит время и не дает пропустить важный участок. Особенно полезен он для многочленов, дробно-рациональных выражений и функций с модулем, корнем или кусочной записью. Критическая точка сама по себе еще ничего не обещает, но она разбивает задачу на несколько коротких интервалов, на которых уже легко делать таблицы знаков.

Условия применения

Критические точки ищут только внутри области определения функции.
Нужно проверить как уравнение f'(x)=0, так и точки, где производная не существует.
Для экстремума затем требуется дополнительная проверка знаков или значений.

Ограничения

Не каждая критическая точка является экстремумом.
Если функция не определена в точке, это не делает ее автоматически критической: точка должна относиться к области определения.
На концах отрезка критические точки в строгом смысле не появляются, но там тоже могут быть экстремумы.

Подробное объяснение

Критическая точка - это не ответ, а сигнал к дальнейшему исследованию. Производная либо обращается в ноль, либо не существует, и в обоих случаях локальное поведение функции может измениться. Внутри гладких промежутков производная дает информацию о наклоне, а в критической точке эта информация исчезает или перестает быть конечной. Поэтому критические точки служат естественными границами, на которых удобно разрезать область определения на отдельные интервалы. После этого уже можно исследовать знак производной, знак второй производной, выпуклость и возможные экстремумы. Именно так строится стандартное университетское исследование функции: не с угадывания формы графика, а с последовательного поиска точек, где анализ нужно делать отдельно. Важно и то, что критическая точка может быть вовсе не экстремумом. Она может оказаться точкой перегиба, точкой с вертикальной касательной, переходом через кусочную запись или просто местом, где производная не определена по технической причине. Но без ее выделения легко пропустить существенный переход в поведении графика. Поэтому критические точки - это своего рода опорные метки, по которым потом удобно читать знак производной, строить таблицу знаков и формировать окончательный вывод о функции.

Как пользоваться формулой

Найдите область определения функции.
Решите уравнение f'(x)=0.
Проверьте точки, где f' не существует, но сама функция определена.
Соберите все такие точки в один список и используйте его для дальнейшего исследования.

Историческая справка

Идея выделять особые точки функции тесно связана с ранними задачами на максимум и минимум. Уже в классической механике и геометрии нужно было понимать, где кривая меняет характер, где наклон исчезает и где следует ожидать важный переход. В работах Ферма, Ролля и Лагранжа постепенно сложился язык стационарных точек и необходимых условий экстремума. Затем Коши и школа строгого анализа придали этому языку точность: стало ясно, что нули производной и точки ее отсутствия - это естественные места для разбиения области на интервалы. В XIX веке эта идея вошла в университетскую традицию как нормальный первый шаг исследования функции. Не надо сразу гадать, где максимум, а где минимум: сначала находят критические точки, а потом анализируют знаки. Такой порядок оказался настолько удобным, что стал почти универсальным шаблоном для алгебраических, тригонометрических и смешанных функций. Он и сегодня остается одной из самых практичных привычек в математическом анализе.

Историческая линия формулы

Критические точки не являются изобретением одного автора. Их место в анализе формировалось из задач о стационарных значениях у Ферма, из теоремы Ролля, из работ Лагранжа по экстремумам и из строгой школы Коши и его последователей. Поэтому корректно говорить о развитии понятия в рамках всей классической теории экстремумов.

Пример

У функции f(x)=x^3-3x производная равна f'(x)=3x^2-3, поэтому критические точки находятся из уравнения 3x^2-3=0. Получаем x=\pm 1. Это не значит, что обе точки автоматически являются максимумом или минимумом, но это именно те места, где поведение графика может резко поменяться. Для функции f(x)=x^{2/3} производная равна \frac{2}{3}x^{-1/3} при x\neq 0, а в нуле она не существует. Значит, x=0 тоже критическая точка, хотя производная там не равна нулю. На практике это очень удобно: сначала собирают список всех подозрительных точек, потом строят таблицу знаков и уже после этого решают, что это - максимум, минимум, перегиб или просто точка без особого эффекта. Такой порядок особенно важен, когда выражение содержит корни, дроби или модули и поведение графика меняется не только из-за нуля производной.

Частая ошибка

Часто забывают про точки, где производная не существует, и ищут только решения f'(x)=0. Еще одна ошибка - относить к критическим точкам любые разрывы, даже если они не принадлежат области определения. Нередко студенты путают критические точки с экстремумами и сразу ставят в них максимум или минимум без проверки. Также важно не забывать о концах отрезка: на них экстремум возможен, но к списку критических точек они обычно не относятся.

Практика

Задачи с решением

Критические точки многочлена

Условие. Найдите критические точки функции f(x)=x^3-3x.

Решение. f'(x)=3x^2-3=0 дает x=\pm1. Это и есть критические точки.

Ответ. x=-1 и x=1

Точка без производной

Условие. Найдите критические точки функции f(x)=x^{2/3}.

Решение. При x\neq 0 f'(x)=\frac23 x^{-1/3}. В нуле производная не существует, но функция определена, значит x=0 - критическая точка.

Ответ. x=0

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, extrema and critical numbers
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, critical points and monotonicity
Thomas' Calculus, critical numbers and curve sketching

Связанные формулы

Математика

Возрастание и убывание через знак производной

$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$

Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке.

Математика

Необходимое условие экстремума

$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$

Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой.

Математика

Схема исследования функции

$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$

Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок.