Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Квадратичная форма при смене переменных

При обратимой линейной замене x = S y матрица формы меняется по сопряжённому преобразованию, а сама квадратичная форма остаётся той же величиной.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебра

Формула

$$x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$$
diagram Смена координат в квадратичной форме

Старые и новые координаты связаны линейным преобразованием, а коэффициентная матрица меняется сопряжением.

Намеренно выбирая S, можно убрать перекрёстные члены.

Обозначения

$S$
обратимая матрица перехода переменных, n×n матрица
$B$
матрица квадратичной формы после замены, n×n матрица
$y$
новые координаты, вектор
$x$
старые координаты, вектор

Условия применения

  • Матрица S должна быть обратимой: det S ≠ 0.
  • Размерности A, S, x, y согласованы.
  • Обе записи вычисляются в одном векторном пространстве.

Ограничения

  • Если S плохо обусловлена, численные ошибки могут нарастать.
  • При сингулярном S преобразование невозможно.
  • Не путай с подобным преобразованием S^{-1} A S.

Подробное объяснение

Подстановка x = Sy даёт Q = y^T S^T A S y, где новая матрица B — congruent transformation и может быть диагонализована выбором подходящего S.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Квадратичная форма при смене переменных" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Выбери S в соответствии с новой системой координат.
  2. Вычисли B = S^T A S.
  3. Подставь y в Q(y)=y^T B y.
  4. Проверь на одной точке сохранение значения формы.

Историческая справка

Сопряжённые преобразования естественно появились в геометрии и теории форм как инвариантные преобразования для квадратичных выражений.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Канонический аппарат теории форм и нормальных форм матриц. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

A=[[2,1],[1,2]], S=[[1,1],[1,-1]], B=S^T A S=[[6,0],[0,2]]. Дополнительная проверка для "Квадратичная форма при смене переменных": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Неверно используют формулу S^{-1} A S вместо S^T A S; для квадратичной формы корректно именно согласованное преобразование. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Сконструировать новую матрицу

Условие. A=[[2,1],[1,2]], S=[[1,1],[1,-1]].

Решение. B=S^T A S=[[6,0],[0,2]].

Ответ. B = [[6,0],[0,2]].

Проверка инвариантности

Условие. x=(1,1)^T, y=S^{-1}x=(1,0)^T.

Решение. x^T A x=6; y^T B y=(1,0)B(1,0)^T=6.

Ответ. Значение формы совпало: 6.

Дополнительные источники

  • Axler, Linear Algebra Done Right
  • Strang, Introduction to Linear Algebra

Связанные формулы

Математика

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.

Математика

Устранение смешанного члена в 2D

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.

Математика

Снятие линейного члена через сдвиг центра

$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$

Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.