Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Сфера по концам диаметра

Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияГеометрия в пространствеПоверхности второго порядкаКанонический видСфераВекторы

Формула

$$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$$
diameter-sphere Визуальное пояснение

Точка сферы образует прямой угол с концами диаметра, что выражается нулевым скалярным произведением.

Сфера через прямой угол на диаметре.

Обозначения

$A(x_1,y_1,z_1)$
первый конец диаметра, единицы длины
$B(x_2,y_2,z_2)$
второй конец диаметра, единицы длины
$P(x,y,z)$
произвольная точка сферы, единицы длины

Условия применения

  • Точки A и B различны.
  • AB является именно диаметром, а не произвольной хордой.
  • Все координаты заданы в одной декартовой системе.

Ограничения

  • Если A=B, сфера вырождается и формула теряет смысл диаметра.
  • Формула задает только поверхность, а не внутренность шара.
  • Для численных задач иногда проще сначала найти центр как середину AB и радиус как половину длины AB.

Подробное объяснение

Если AB - диаметр сферы, то для любой точки P на сфере векторы PA и PB перпендикулярны. Нулевое скалярное произведение этих векторов и дает компактное уравнение. После раскрытия его можно привести к обычному виду сферы по центру и радиусу. Поверхности второго порядка в пространстве являются трехмерным продолжением коник на плоскости. Их уравнения содержат квадраты координат, а форма поверхности зависит от знаков, коэффициентов и отсутствующих переменных. Практический смысл таких страниц не в запоминании названия, а в распознавании геометрии по уравнению: замкнутая поверхность, седло, конус, цилиндр или бесконечная поверхность с одной или двумя полостями. Поэтому после записи формулы полезно делать сечения плоскостями x=const, y=const, z=const: именно сечения быстро показывают, что перед нами сфера, эллипсоид, гиперболоид или параболоид. Для этой страницы главная проверка такая: после приведения к квадратам центр должен оказаться серединой отрезка AB. Если она не проходит, значит поверхность либо записана не в канонической системе координат, либо относится к другому типу квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите координаты концов диаметра A и B.
  2. Составьте векторы PA и PB.
  3. Приравняйте их скалярное произведение к нулю.
  4. При необходимости приведите уравнение к виду центра и радиуса.

Историческая справка

Свойство прямого угла на диаметре известно из классической геометрии; координатная запись переносит эту идею с окружности на сферу. Координатное описание пространственных поверхностей выросло из аналитической геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма, а затем развивалось вместе с алгебраической геометрией и математическим анализом. В XVIII-XIX веках квадрики стали стандартным объектом учебной и инженерной геометрии: их изучали через канонические уравнения, сечения, касательные плоскости и преобразования координат. Современная запись поверхностей второго порядка является частью общей традиции координатного метода, а не результатом одного открытия.

Историческая линия формулы

У этой формулы нет одного автора в современном учебном смысле. Исторически корректно связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а каноническую классификацию квадрик - с последующей традицией аналитической геометрии и линейной алгебры.

Пример

Пусть A(0,0,0), B(2,0,0). Тогда уравнение сферы: x(x-2)+y^2+z^2=0, или (x-1)^2+y^2+z^2=1. Центр действительно находится в середине диаметра C(1,0,0), а радиус равен 1. Точка (1,1,0) лежит на сфере, потому что (1-1)^2+1^2=1. После вычисления нужно сделать геометрическую проверку: подставить несколько контрольных точек, посмотреть сечения координатными плоскостями и убедиться, что знаки квадратов соответствуют ожидаемой форме. Если поверхность должна быть замкнутой, уравнение не должно давать бесконечные ветви; если это параболоид или гиперболоид, поведение при больших координатах должно быть согласовано с канонической формой.

Частая ошибка

Часто ошибочно подставляют формулу окружности на плоскости и забывают координату z. Еще одна ошибка - считать любые две точки на сфере концами диаметра: для этой формулы они должны быть противоположными. Частая общая ошибка - смотреть только на наличие квадратов и не анализировать знаки. У эллипсоида все квадратные члены одного знака, у гиперболоида один или два знака отличаются, у параболоидов одна координата входит линейно, а у цилиндра одна координата вообще отсутствует. Еще одна ошибка - не приводить уравнение к каноническому виду перед распознаванием.

Практика

Задачи с решением

Сфера по диаметру

Условие. A(0,0,0), B(0,0,4). Запишите уравнение сферы.

Решение. Получаем x²+y²+z(z-4)=0, или x²+y²+(z-2)²=4.

Ответ. x²+y²+(z-2)²=4

Найти центр

Условие. Сфера задана концами диаметра A(1,2,3), B(5,2,3). Найдите центр и радиус.

Решение. Центр - середина AB: C(3,2,3). Длина AB=4, поэтому R=2.

Ответ. C(3,2,3), R=2

Дополнительные источники

  • OpenStax. Calculus Volume 3, Quadric Surfaces.
  • Paul Dawkins. Lamar University Calculus III, Quadric Surfaces.

Связанные формулы

Математика

Уравнение сферы по центру и радиусу

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.

Математика

Скалярное произведение в координатах

$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$

Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Середина отрезка по координатам

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.