Математика / Пределы, ряды

Необходимые условия экстремума для двух переменных

Необходимые условия экстремума требуют, чтобы в гладкой внутренней точке локального максимума или минимума обе частные производные обращались в ноль.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\nabla f(a,b)=(0,0)

Схема Стационарная точка

В гладкой внутренней точке экстремума наклон по обеим координатным осям равен нулю.

Обозначения

$\nabla f$: градиент, вектор
$(a,b)$: критическая точка, число
$f_x,f_y$: частные производные, число

Условия применения

Точка внутри области определения
Нужны fx и fy
Рассматривается локальный экстремум (внутренний)

Ограничения

Не дает тип экстремума
Точки границы требуют отдельного анализа
Седла также имеют нулевой градиент

Подробное объяснение

Если гладкая функция имеет локальный максимум или минимум во внутренней точке, то при движении только по оси x мы видим одномерную функцию с экстремумом, а значит ее производная по x равна нулю. То же рассуждение работает для оси y. Поэтому обе частные производные должны быть нулевыми. В векторной форме это записывается как grad f=0.

Важно слово необходимое. Условие говорит: если экстремум есть и точка внутренняя, то градиент должен исчезнуть. Но обратное неверно. Стационарная точка может быть минимумом, максимумом или седловой точкой. Поэтому после решения системы f_x=0, f_y=0 нужно использовать дополнительные инструменты: критерий Гессе, анализ знака приращения, ограничения области и сравнение значений на границе.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что точка ищется внутри области и функция дифференцируема.
Найдите частные производные первого порядка.
Решите систему уравнений f_x=0 и f_y=0.
Классифицируйте найденные точки отдельным критерием или прямым анализом значений функции.

Историческая справка

Поиск экстремумов был одной из ранних задач дифференциального исчисления. В одномерном случае правило нулевой производной стало стандартным способом находить кандидатов на максимум и минимум. Для функций нескольких переменных это правило естественно расширилось: нужно занулить все частные производные, потому что функция не должна иметь первого порядка роста ни в одном координатном направлении.

В дальнейшем эта идея стала основой оптимизации многих переменных. В векторной записи условие grad f=0 лежит в центре аналитической механики, экономики, статистики и численных методов. При наличии ограничений оно приводит к методу множителей Лагранжа, а без ограничений - к классификации стационарных точек через вторые производные.

Пример

Пример 1. Пусть f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y. Частные производные: f_x=2x-4, f_y=2y-6. Приравниваем к нулю: x=2, y=3. Точка (2,3) является кандидатом на экстремум. Пример 2. Для f(x,y)=x^3+y^3 частные производные равны 3x^2 и 3y^2, поэтому точка (0,0) тоже стационарная. Но сама по себе стационарность не гарантирует минимум или максимум: около нуля функция принимает и положительные, и отрицательные значения. Значит после необходимых условий нужна классификация.

Частая ошибка

Главная ошибка - считать условия f_x=0 и f_y=0 достаточными для экстремума. Они дают только кандидатов. Другая ошибка - применять эти условия к граничным точкам области без отдельного анализа границы. Если экстремум лежит на границе или функция негладкая, частные производные могут не обращаться в ноль или вообще не существовать.

Практика

Задачи с решением

Критические точки

Условие. f=x^2+y^2-2x-4y

Решение. f_x=2x-2, f_y=2y-4 => x=1,y=2

Ответ. (1,2)

Кандидат в седло

Условие. f=x^2-y^2

Решение. f_x=2x, f_y=-2y => (0,0)

Ответ. (0,0)

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Критерий Гессе для двух переменных

$D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$

Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе.

Математика

Выпуклость и вогнутость графика

$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$

Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба.

Математика

Точка перегиба

$x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$

Точка перегиба - это место, где график меняет выпуклость. Для надежного вывода нужно не только заметить ноль второй производной, но и проверить смену ее знака по обе стороны точки.