Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Каноническое уравнение эллипсоида

Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияГеометрия в пространствеПоверхности второго порядкаКанонический видКлассификация квадрик

Формула

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
ellipsoid Визуальное пояснение

Эллипсоид имеет три полуоси и эллиптические сечения координатными плоскостями.

Эллипсоид как трехмерное обобщение эллипса.

Обозначения

$a,b,c$
полуоси эллипсоида вдоль координатных осей, единицы длины
$x,y,z$
координаты точки поверхности, единицы длины

Условия применения

  • Параметры a, b, c положительны.
  • Оси эллипсоида совпадают с координатными осями.
  • Центр эллипсоида находится в начале координат; для сдвига нужен перенос координат.

Ограничения

  • Если один из параметров равен нулю, каноническая поверхность вырождается.
  • При a=b=c эллипсоид становится сферой.
  • Повернутый эллипсоид требует предварительного устранения смешанных членов.

Подробное объяснение

Эллипсоид получается как множество точек, у которых нормированная сумма квадратов координат равна единице. Если двигаться вдоль одной оси, две другие координаты равны нулю, поэтому пересечения с осями находятся в точках ±a, ±b и ±c. Поверхности второго порядка в пространстве являются трехмерным продолжением коник на плоскости. Их уравнения содержат квадраты координат, а форма поверхности зависит от знаков, коэффициентов и отсутствующих переменных. Практический смысл таких страниц не в запоминании названия, а в распознавании геометрии по уравнению: замкнутая поверхность, седло, конус, цилиндр или бесконечная поверхность с одной или двумя полостями. Поэтому после записи формулы полезно делать сечения плоскостями x=const, y=const, z=const: именно сечения быстро показывают, что перед нами сфера, эллипсоид, гиперболоид или параболоид. Для этой страницы главная проверка такая: сечения координатными плоскостями должны быть эллипсами, а поверхность должна быть ограниченной. Если она не проходит, значит поверхность либо записана не в канонической системе координат, либо относится к другому типу квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите уравнение к правой части 1.
  2. Убедитесь, что все квадратные члены имеют положительные коэффициенты.
  3. Считайте полуоси как корни из знаменателей.
  4. Проверьте сечения координатными плоскостями.

Историческая справка

Эллипсоиды стали важной моделью в геометрии, астрономии и механике, потому что они естественно обобщают эллипсы на трехмерные тела. Координатное описание пространственных поверхностей выросло из аналитической геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма, а затем развивалось вместе с алгебраической геометрией и математическим анализом. В XVIII-XIX веках квадрики стали стандартным объектом учебной и инженерной геометрии: их изучали через канонические уравнения, сечения, касательные плоскости и преобразования координат. Современная запись поверхностей второго порядка является частью общей традиции координатного метода, а не результатом одного открытия.

Историческая линия формулы

У этой формулы нет одного автора в современном учебном смысле. Исторически корректно связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а каноническую классификацию квадрик - с последующей традицией аналитической геометрии и линейной алгебры.

Пример

Поверхность x²/9+y²/4+z²=1 является эллипсоидом с полуосями a=3, b=2, c=1. Сечение z=0 дает эллипс x²/9+y²/4=1. Сечение x=0 дает эллипс y²/4+z²=1. Точка (3,0,0) лежит на поверхности, а точка (0,0,2) не лежит, потому что z²=4 больше единицы. После вычисления нужно сделать геометрическую проверку: подставить несколько контрольных точек, посмотреть сечения координатными плоскостями и убедиться, что знаки квадратов соответствуют ожидаемой форме. Если поверхность должна быть замкнутой, уравнение не должно давать бесконечные ветви; если это параболоид или гиперболоид, поведение при больших координатах должно быть согласовано с канонической формой.

Частая ошибка

Часто считают, что знаменатели a², b², c² являются самими полуосями. На самом деле полуоси равны a, b, c, то есть квадратным корням из знаменателей. Также нельзя забывать правую часть 1. Частая общая ошибка - смотреть только на наличие квадратов и не анализировать знаки. У эллипсоида все квадратные члены одного знака, у гиперболоида один или два знака отличаются, у параболоидов одна координата входит линейно, а у цилиндра одна координата вообще отсутствует. Еще одна ошибка - не приводить уравнение к каноническому виду перед распознаванием.

Практика

Задачи с решением

Найти полуоси

Условие. Для x²/16+y²/9+z²/4=1 найдите полуоси эллипсоида.

Решение. Полуоси равны корням из знаменателей: a=4, b=3, c=2.

Ответ. 4, 3, 2

Проверить точку

Условие. Лежит ли точка (0,3,0) на x²/16+y²/9+z²/4=1?

Решение. Подстановка дает 0+9/9+0=1, значит точка лежит на поверхности.

Ответ. Да

Дополнительные источники

  • OpenStax. Calculus Volume 3, Quadric Surfaces.
  • Paul Dawkins. Lamar University Calculus III, Quadric Surfaces.

Связанные формулы

Математика

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую.

Математика

Полуоси эллипса после диагонализации

$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$

После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения.

Математика

Общее уравнение кривой второго порядка

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат.

Математика

Инвариант следа квадратичной части коники

$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$

След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений.