Прямые, плоскости

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$

$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

$(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$

$\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

$c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$

$y-k = a(x-h)^2$

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$

$d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$

$V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$

$V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

$\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$

$\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$

$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$

$x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$

$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$

$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$

$(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$

$\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$

$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$

$\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$

$\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$

$t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$

$\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$

$\cos\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$

$d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$

$d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$

$t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$

$P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$

$t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$

$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$

$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$

$r\cos(\varphi-\alpha)=p$

$r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$

$r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$

$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$

$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$

$S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$

$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$

$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$

$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$

$P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$

$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$

$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$

$\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$