Математика / Пределы, ряды

Касательная к графику функции

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

tangent-line Прямая касания

Показан график функции и прямая, которая проходит через выбранную точку и имеет тот же локальный наклон. На малом участке прямая почти неотличима от графика.

Касательная повторяет локальное направление графика.

Обозначения

$x_0$: абсцисса точки касания, единицы аргумента
$f(x_0)$: ордината точки касания, единицы функции
$f'(x_0)$: наклон касательной, отношение единиц y к единицам x

Условия применения

Функция должна быть дифференцируема в точке x_0.
Точка касания должна быть на графике: y_0=f(x_0).
Производная должна быть конечной, чтобы обычная формула прямой работала без дополнительных оговорок.

Ограничения

Касательная совпадает с графиком только локально; дальше кривая может заметно уйти от прямой.
Если производной нет, касательную в обычном смысле не построить.
Для вертикальной касательной нужна отдельная модель, а не стандартная формула y=... .

Подробное объяснение

Касательная - это лучшая линейная модель функции в точке. Она проходит через саму точку графика и имеет тот же наклон, что и график в пределе малых приращений. Поэтому касательная связывает алгебру, геометрию и численную аппроксимацию в одной формуле. Формула касательной получается из уравнения прямой с известной точкой и наклоном. Точка на графике имеет координаты (x_0, f(x_0)), а наклон прямой равен f'(x_0). Подставляя эти данные в точечно-угловую форму прямой, получаем y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), или y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). Смысл этой записи шире, чем просто геометрическая линия. Она говорит, что около x_0 функцию можно заменить линейной моделью: изменение значения примерно равно производной, умноженной на изменение аргумента. Именно поэтому касательная лежит в основе дифференциала, метода Ньютона, оценки погрешностей и локальных приближений. Условия применения важны: функция должна быть дифференцируема, производная конечна, а точка касания действительно принадлежит графику. Если есть вертикальная касательная или разрыв, стандартная формула y=... может не работать. В задачах нужно отдельно вычислить f(x_0), затем f'(x_0), и только после этого подставлять в уравнение прямой.

Как пользоваться формулой

Найдите точку касания x_0 и вычислите f(x_0).
Найдите производную и подставьте x_0 в f'(x).
Запишите формулу прямой y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
Проверьте, что прямая проходит через точку касания и имеет правильный наклон.

Историческая справка

Метод касательных был одним из главных мотивов раннего анализа: математики хотели описать кривую через прямую, которая лучше всего ее заменяет в точке. У Ньютона этот язык тесно связан с движением и скоростью, а в XIX веке он получил строгую формулировку через производную. Уравнение касательной стало естественным языком после объединения аналитической геометрии и анализа. Когда кривая задается формулой, касательную можно искать не только построением, но и вычислением наклона. Ранние методы Ферма и Декарта решали отдельные геометрические задачи, а исчисление Ньютона и Лейбница позволило получать касательные системно. Позднее формула стала частью стандартного курса дифференциального исчисления: сначала находят производную, затем строят касательную и используют ее как локальную модель. В современной математике та же идея развивается в понятиях дифференциала, касательного пространства и линеаризации.

Историческая линия формулы

Классический метод касательных связан с Ньютоном и Лейбницем; строгая связь с производной закрепилась у Коши. Уравнение касательной в современном виде является следствием аналитической геометрии и определения производной. Его корректнее связывать с развитием дифференциального исчисления и координатного метода, а не приписывать одному автору.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для f(x)=x^2 в точке x_0=1 имеем f(1)=1 и f'(1)=2. Поэтому касательная задается как y=1+2(x-1)=2x-1. Для f(x)=sqrt(x) в точке x_0=4 имеем f(4)=2 и f'(x)=1/(2sqrt(x)), значит f'(4)=1/4. Касательная: y=2+(1/4)(x-4). Если нужно быстро оценить sqrt(4,2), получаем 2+0,25*0,2=2,05. Точное значение около 2,049, то есть касательная дает хорошую локальную оценку. Но для x=9 эта же прямая дала бы 3,25 вместо точного 3, и ошибка уже заметна. Поэтому уравнение касательной полезно не только для чертежа, но и для оценки, однако оно работает надежно лишь вблизи точки касания.

Частая ошибка

Нередко подставляют в формулу не координату точки, а произвольное x. Еще одна ошибка - писать y=f'(x_0)(x-x_0), забывая свободный член f(x_0). Иногда путают касательную с секущей и берут наклон по двум разным точкам вместо производной. Нередко ошибаются в точке касания: берут x_0, но забывают вычислить y_0=f(x_0), из-за чего прямая имеет правильный наклон, но проходит не через график. Еще одна ошибка - использовать производную как свободный коэффициент прямой y=kx+b и не найти b через точку. В прикладных оценках важно не переносить касательную слишком далеко от x_0: линейное приближение может быстро потерять точность.

Практика

Задачи с решением

Построить касательную к параболе

Условие. Найдите уравнение касательной к графику f(x)=x^2 в точке x_0=2.

Решение. f(2)=4, f'(x)=2x, значит f'(2)=4. Получаем y=4+4(x-2)=4x-4. После нахождения наклона обязательно подставляем точку касания, чтобы прямая прошла через исходный график.

Ответ. y=4x-4

Построить касательную к синусу

Условие. Найдите уравнение касательной к графику f(x)=\sin x в точке x_0=0.

Решение. f(0)=0, f'(x)=\cos x, поэтому f'(0)=1. Касательная: y=x. После нахождения наклона обязательно подставляем точку касания, чтобы прямая прошла через исходный график.

Ответ. y=x

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, tangent lines and linear approximation
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, tangent line approximation
Stewart, Calculus: Early Transcendentals, tangent line and linearization
Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique, 1821
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on limits and derivatives

Связанные формулы

Математика

Геометрический смысл производной

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.

Математика

Нормаль к графику функции

$y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0$

Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.

Математика

Предел функции в точке

$\lim_{x\to a} f(x)=L$

Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке.

Математика

Непрерывность функции в точке

$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.