Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Классическая вероятность события

Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$P(A)=\frac{m}{n}$$
Диаграмма исходов Благоприятные исходы внутри всех исходов

Прямоугольник всех исходов разделен на n равных ячеек, m ячеек выделены как благоприятные.

Вероятность - это доля подходящих исходов среди равновозможных.

Обозначения

$P(A)$
вероятность события A
$m$
число благоприятных исходов
$n$
общее число равновозможных исходов

Условия применения

  • Все исходы опыта считаются равновозможными.
  • Общее число исходов n конечно и больше нуля.
  • Благоприятные исходы входят в общий набор исходов и подсчитаны без повторов.

Ограничения

  • Формула не подходит напрямую, если исходы не равновозможны, например у нечестной монеты или неодинаковых карточек.
  • Для сложных событий с несколькими этапами может потребоваться дерево вариантов, правило произведения или сложение вероятностей.
  • Вероятность не может быть меньше 0 или больше 1; такой результат означает ошибку в подсчете.

Подробное объяснение

Классическая вероятность измеряет долю благоприятных исходов среди всех равновозможных. Если все исходы одинаково вероятны, то шанс события определяется простым подсчетом: сколько исходов подходят и сколько исходов вообще возможно.

Формула P(A)=m/n похожа на обычную долю. Если подходят 3 исхода из 10, вероятность равна 3/10. Поэтому вероятность можно записывать дробью, десятичным числом или процентом, если это удобно.

Ключевое слово - равновозможные. При броске честного кубика шесть граней считаются равновозможными. Но если предметы различаются по вероятности выбора или опыт устроен несимметрично, простая формула может не работать без уточнения модели.

В задачах полезно сначала явно описать пространство исходов. Например, при выборе шара исходами являются отдельные шары, а не цвета. Поэтому знаменатель - общее число шаров, а числитель - число шаров нужного цвета.

Проверка результата обязательна: вероятность всегда лежит от 0 до 1. Значение 0 означает невозможное событие, значение 1 - достоверное событие. Все реальные шансы простого случайного опыта находятся между ними.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите все равновозможные исходы опыта.
  2. Посчитайте общее число исходов n.
  3. Посчитайте число благоприятных исходов m.
  4. Запишите вероятность как m/n и при необходимости сократите дробь.
  5. Проверьте, что результат находится между 0 и 1.

Историческая справка

Классическое определение вероятности выросло из анализа азартных игр, подсчета шансов и комбинаторных задач XVII-XVIII веков. Исторически важную роль сыграли переписка и работы математиков, изучавших задачи о ставках, бросках костей и справедливом распределении выигрыша. Позже вероятность стала строгим разделом математики и получила более общие определения. В прикладных задачах вероятностные модели начали использовать в страховании, статистике, естественных науках и анализе данных. В школьном курсе 9 класса используется именно классический случай: все исходы конечны и равновозможны, поэтому вероятность можно считать простой дробью. Поэтому условие равновозможности остается главным ограничением формулы.

Пример

В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров, все шары одинаковы на ощупь. Случайно достают один шар. Найдем вероятность достать красный. Всего исходов n = 5 + 7 = 12, благоприятных исходов m = 5. Тогда P = m/n = 5/12. Проверка: вероятность меньше 1 и больше 0, потому что красные шары есть, но не все шары красные. Если бы спрашивали вероятность синего шара, она была бы 7/12, а сумма 5/12 + 7/12 = 1, потому что других цветов нет. Если шары были бы разного размера или выбирались неравновероятно, эту простую модель пришлось бы уточнять.

Частая ошибка

Частая ошибка - брать в знаменатель только благоприятные исходы, а не все возможные. Вторая ошибка - считать исходы равновозможными там, где они не равны по шансам. Третья ошибка - забывать, что событие может быть противоположным: иногда проще найти вероятность не наступления события и вычесть из 1. Еще одна ошибка - получать дробь больше 1, что сразу показывает неверный подсчет.

Практика

Задачи с решением

Кубик

Условие. Бросают честный кубик. Найдите вероятность выпадения числа больше 4.

Решение. Всего 6 исходов. Благоприятные: 5 и 6, всего 2. P = 2/6 = 1/3.

Ответ. 1/3

Карточки

Условие. В наборе карточки с числами от 1 до 10. Найдите вероятность выбрать четное число.

Решение. Всего 10 карточек. Четные: 2, 4, 6, 8, 10, всего 5. P = 5/10 = 1/2.

Ответ. 1/2

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Introductory Statistics 2e, раздел Probability Topics
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: вероятность

Связанные формулы

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Аналитика

Медиана

$Me=x_{(\frac{n+1}{2})}\quad\text{для нечетного }n$

Медиана делит упорядоченный набор данных пополам: половина значений не больше медианы, а половина не меньше ее. Это устойчивая мера типичного значения.

Аналитика

Мода

$Mo=\text{значение с максимальной частотой}$

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Она полезна для категорий, популярных вариантов и повторяющихся числовых значений.