Математика / Матрицы, определители

Ортогональная матрица

Квадратная матрица Q ортогональна, если ее столбцы образуют ортонормированный базис. Тогда обратная матрица равна транспонированной, а преобразование сохраняет длины и углы.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}

orthogonal-matrix-rotation Поворот без изменения длины

Схема показывает круг, повернутые оси и вектор до и после применения ортогональной матрицы.

Ортогональная матрица меняет координатную ориентацию, но сохраняет геометрию длин и углов.

Обозначения

$Q$: квадратная ортогональная матрица, матрица n x n
$Q^T$: транспонированная матрица, матрица n x n
$I$: единичная матрица, матрица n x n
$Q^{-1}$: обратная матрица, матрица n x n

Условия применения

Матрица Q должна быть квадратной для равенства Q^{-1}=Q^T.
Столбцы Q должны быть ортонормированными в стандартном скалярном произведении.
Для вещественной записи используется транспонирование; в комплексном случае нужна унитарная матрица и сопряженное транспонирование.

Ограничения

Матрица с ортонормированными столбцами, но не квадратная, удовлетворяет Q^TQ=I, однако не имеет двусторонней обратной.
Ортогональность матрицы не означает, что ее элементы равны только 0 и 1.
При численных вычислениях Q^TQ может быть близка к I, но не равна ей из-за округления.

Подробное объяснение

Если столбцы Q образуют ортонормированный базис, то элемент матрицы Q^TQ в позиции i,j равен скалярному произведению i-го и j-го столбцов. На диагонали стоят нормы столбцов в квадрате, то есть 1, а вне диагонали стоят скалярные произведения разных столбцов, то есть 0. Поэтому Q^TQ=I.

Из Q^TQ=I для квадратной матрицы следует, что Q^T является обратной к Q. Геометрически это означает, что преобразование Q можно отменить транспонированием, без решения системы и без общей формулы обратной матрицы. Такое свойство делает ортогональные матрицы особенно удобными в вычислениях.

Ортогональные матрицы сохраняют скалярное произведение: (Qx)*(Qy)=x*(Q^TQ)y=x*y. Отсюда следуют сохранение длин, углов и ортогональности. Поэтому они описывают повороты, отражения и их комбинации. В численной линейной алгебре это свойство ценно: преобразования с ортогональными матрицами обычно не усиливают ошибки масштаба так сильно, как произвольные обратимые матрицы.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что матрица Q квадратная.
Вычислите Q^TQ.
Сравните результат с единичной матрицей.
Если Q^TQ=I, используйте Q^{-1}=Q^T.
Для геометрической проверки можно дополнительно убедиться, что длины тестовых векторов сохраняются.

Историческая справка

Ортогональные преобразования выросли из геометрии поворотов и отражений, а матричная запись появилась после развития теории матриц. Кэли важен как одна из центральных фигур становления матричной алгебры, где матрицы стали самостоятельными объектами с произведением и обратимостью. Гамильтон через кватернионы внес значимую линию в алгебраическое описание вращений, хотя современные ортогональные матрицы не сводятся к его работе. В XX веке ортогональные матрицы стали ключевым инструментом численной линейной алгебры, потому что они сохраняют нормы и уменьшают риск неустойчивых преобразований. Они также стали языком для алгоритмов, где нужно менять базис без искусственного растяжения данных.

Историческая линия формулы

Формула Q^TQ=I является современной матричной записью ортонормированности столбцов. Ее не следует приписывать одному автору; исторически здесь пересекаются геометрия вращений, матричная алгебра Кэли и алгебраические идеи Гамильтона о многомерных преобразованиях.

Артур Кэли 1821-1895 Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865

Пример

Матрица поворота R=[[0,-1],[1,0]] ортогональна. Ее столбцы (0,1) и (-1,0) имеют длину 1 и скалярное произведение 0. Поэтому R^TR=I. Транспонированная матрица R^T=[[0,1],[-1,0]] является обратной: она поворачивает на противоположный угол. Для x=(3,4) длина равна 5, а Rx=(-4,3) тоже имеет длину 5. Это показывает геометрический смысл ортогональной матрицы: она может повернуть или отразить пространство, но не растянуть его. Если взять два разных вектора, их угол после умножения на R также сохранится, потому что сохраняется скалярное произведение.

Частая ошибка

Частая ошибка - проверять только строки или только столбцы без понимания, что для квадратной матрицы оба условия эквивалентны, но нужно получить именно единичную матрицу. Вторая ошибка - думать, что det Q всегда равен 1; у отражений det Q=-1. Третья ошибка - применять Q^{-1}=Q^T к неортогональной матрице. Еще одна ошибка - переносить вещественную формулу на комплексные матрицы без сопряжения.

Практика

Задачи с решением

Проверить отражение

Условие. Является ли Q=[[1,0],[0,-1]] ортогональной матрицей?

Решение. Q^T=Q, Q^TQ=diag(1,1)=I. Столбцы единичны и ортогональны.

Ответ. Да.

Найти обратную

Условие. Q=[[0,-1],[1,0]]. Найдите Q^{-1}.

Решение. Матрица ортогональна, поэтому обратная равна транспонированной.

Ответ. Q^{-1}=Q^T=[[0,1],[-1,0]].

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC, Orthogonal Matrices and Gram-Schmidt
Jim Hefferon, Linear Algebra, Orthogonal Matrices
Interactive Linear Algebra, Margalit and Rabinoff, Orthogonality

Связанные формулы

Математика

Ортонормированный базис

$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$

Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле.

Математика

Матрица ортогональной проекции

$P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$

Если столбцы Q образуют ортонормированный базис подпространства W, то матрица P=QQ^T переводит любой вектор в его ортогональную проекцию на W.

Математика

Матрица оператора при смене базиса

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.