Математика / Прямые, плоскости

Длина дуги параметрической кривой

Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt

parametric-arc-length Визуальное пояснение

Кривая разбивается на малые отрезки, а интеграл суммирует их длины через скорость параметризации.

Длина дуги как интеграл скорости.

Обозначения

$a,b$: начальное и конечное значения параметра, единицы параметра
$dx/dt,dy/dt$: компоненты скорости движения точки по кривой, единицы длины на единицу параметра
$L$: длина дуги, единицы длины

Когда применять

Формула применяется для вычисления длины траектории, дуги окружности, циклоиды, графика в параметрах или любой гладкой кривой с заданным промежутком параметра. На практике формулу применяют после выбора системы координат и проверки ограничений: углы должны быть в радианах, параметр должен лежать в заданном промежутке, а особые точки нужно рассматривать отдельно. Такой порядок защищает от типичной ошибки, когда красивое выражение подставляют вне его области применимости.

Условия применения

Функции x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы на рассматриваемом промежутке.
Промежуток параметра [a,b] соответствует нужному участку кривой.
Интеграл скорости существует и конечен.

Ограничения

Если параметризация проходит один и тот же участок несколько раз, формула посчитает длину с повторениями.
В точках разрыва производных участок нужно разбивать на части.
Формула дает длину траектории, а не расстояние между начальной и конечной точками.

Подробное объяснение

Малый участок кривой можно приблизить маленьким отрезком с приращениями dx и dy. По теореме Пифагора его длина примерно равна √(dx²+dy²). Если dx=x'(t)dt и dy=y'(t)dt, после суммирования по промежутку получается интеграл от модуля скорости. В аналитической геометрии важно не просто записать формулу, а понять, какая система координат или параметризация делает задачу короче. Полярные координаты удобны, когда объект естественно описывается расстоянием от одной точки и углом: окружности с центром в полюсе, лучи, спирали, некоторые коники и области с радиальной симметрией. Параметрические кривые удобны, когда точка движется во времени или когда зависимость y от x нельзя безопасно выразить одной функцией. Поэтому перед расчетом нужно выбрать модель: обычная декартова запись, полярная запись или параметр. После выбора модели обязательно проверяют область углов, знак радиуса, нулевые знаменатели и особые точки кривой. Для этой формулы ключевая проверка такая: для прямой параметризации x=t, y=0 на [a,b] формула должна дать обычную длину |b-a|. Если проверка не выполняется, нужно вернуться к условиям задачи и выбрать другую запись, потому что формула могла попасть в вырожденный или пограничный случай.

Как пользоваться формулой

Вычислите dx/dt и dy/dt.
Составьте выражение скорости √((dx/dt)²+(dy/dt)²).
Проверьте, что выбран правильный промежуток параметра.
Вычислите определенный интеграл по t.

Историческая справка

Вычисление длин кривых было одной из задач, которая показала силу интегрального исчисления: длина сложной траектории выражается как предел сумм маленьких отрезков. Исторически координатный метод вырос из работ Рене Декарта и Пьера Ферма, где геометрические объекты начали систематически переводить на язык уравнений. Полярные координаты и параметрические описания стали особенно важны вместе с развитием математического анализа в XVII-XVIII веках: движение, касательные, площади и длины кривых потребовали описывать точку не только через x и y, но и через угол, расстояние или параметр. Ньютон и Лейбниц развивали методы анализа, которые позже стали стандартным языком для производных параметрических кривых, длин дуг и площадей. Современная учебная запись формул является результатом этой общей линии, а не изобретением одного автора.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в школьно-вузовском смысле. Корректнее говорить о развитии координатного метода у Декарта и Ферма, а для производных, касательных, длин дуг и площадей - о связи с аналитическими методами Ньютона, Лейбница и последующей учебной традиции анализа.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Для x=t, y=2t на промежутке 0≤t≤3 имеем x'=1, y'=2, скорость равна √5. Тогда L=∫0^3 √5 dt=3√5. Для окружности x=R cos t, y=R sin t на промежутке 0≤t≤π/2 скорость равна R, поэтому длина четверти окружности равна Rπ/2. После вычисления полезно сделать обратную проверку: подставить результат в исходную запись, оценить знак, единицы измерения и геометрический смысл. Если ответ описывает точку, она должна оказаться на нужной кривой; если ответ описывает длину или площадь, он не может быть отрицательным. В задачах с полярными координатами дополнительно проверяют, не описывается ли одна и та же точка несколькими парами (r, φ).

Частая ошибка

Нельзя заменять длину дуги расстоянием между концами, если кривая не является прямым отрезком. Также часто забывают квадрат обеих производных и подставляют под корень x' + y' вместо (x')²+(y')². Еще одна частая ошибка - механически переносить декартову интуицию на полярную или параметрическую запись. В полярных координатах один и тот же объект может иметь несколько эквивалентных уравнений, а в параметрической форме вертикальная касательная не является ошибкой: просто в этой точке dx/dt обращается в ноль. Перед финальным ответом нужно отдельно проверить особые значения угла или параметра.

Практика

Задачи с решением

Длина прямого участка

Условие. x=3t, y=4t, 0≤t≤2. Найдите длину дуги.

Решение. Скорость равна √(9+16)=5. Интеграл от 0 до 2 равен 10.

Ответ. 10

Четверть окружности

Условие. x=2cos t, y=2sin t, 0≤t≤π/2. Найдите длину дуги.

Решение. Скорость равна 2, поэтому L=∫0^{π/2}2dt=π.

Ответ. π

Дополнительные источники

OpenStax. Calculus Volume 2, Parametric Equations and Polar Coordinates.
Paul Dawkins. Lamar University Calculus II, Parametric Equations and Polar Coordinates.

Связанные формулы

Математика

Производная параметрической кривой

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$

Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.

Математика

Касательная к параметрической кривой

$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$

Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.

Математика

Кривизна параметрической кривой

$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$

Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.

Математика

Длина вектора по координатам

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.