Математика / Прямые, плоскости

Коника в полярных координатах через фокус и директрису

Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}

polar-conic Визуальное пояснение

Фокус помещен в полюс, а форма коники определяется эксцентриситетом и расстоянием до директрисы.

Коника через фокус, директрису и полярный угол.

Обозначения

$e$: эксцентриситет коники, безразмерно
$\ell$: фокальный параметр, или semi-latus rectum, единицы длины
$r,\varphi$: полярные координаты точки коники, единицы длины и радианы

Когда применять

Формула особенно полезна для задач, где коника задана фокусом, директрисой или движением относительно центральной точки, например в геометрии орбит. На практике формулу применяют после выбора системы координат и проверки ограничений: углы должны быть в радианах, параметр должен лежать в заданном промежутке, а особые точки нужно рассматривать отдельно. Такой порядок защищает от типичной ошибки, когда красивое выражение подставляют вне его области применимости.

Условия применения

Фокус коники выбран в полюсе.
Ось коники направлена вдоль нулевого полярного луча.
Знаменатель 1+e cos φ не должен обращаться в ноль в рассматриваемой точке.

Ограничения

При другом направлении директрисы знак перед e cos φ может измениться.
Формула описывает одну из стандартных ориентаций коники; поворот оси требует замены φ на φ-α.
Для гиперболы не все углы дают конечное положительное r.

Подробное объяснение

Коника определяется как множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы постоянно и равно e. Если фокус помещен в полюс, расстояние до фокуса равно r, а расстояние до директрисы выражается через проекцию r cos φ. После алгебраического преобразования получается компактная полярная форма. В аналитической геометрии важно не просто записать формулу, а понять, какая система координат или параметризация делает задачу короче. Полярные координаты удобны, когда объект естественно описывается расстоянием от одной точки и углом: окружности с центром в полюсе, лучи, спирали, некоторые коники и области с радиальной симметрией. Параметрические кривые удобны, когда точка движется во времени или когда зависимость y от x нельзя безопасно выразить одной функцией. Поэтому перед расчетом нужно выбрать модель: обычная декартова запись, полярная запись или параметр. После выбора модели обязательно проверяют область углов, знак радиуса, нулевые знаменатели и особые точки кривой. Для этой формулы ключевая проверка такая: при e<1 кривая должна быть замкнутой, при e=1 параболической, а при e>1 гиперболической в допустимых направлениях. Если проверка не выполняется, нужно вернуться к условиям задачи и выбрать другую запись, потому что формула могла попасть в вырожденный или пограничный случай.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что фокус действительно находится в полюсе.
Определите эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
Подставьте значения в r=ℓ/(1+e cos φ).
Проверьте знак и нули знаменателя на нужном промежутке углов.

Историческая справка

Фокусно-директрисное описание коник восходит к классической геометрии, а полярная запись стала особенно удобной после соединения геометрии с анализом. Исторически координатный метод вырос из работ Рене Декарта и Пьера Ферма, где геометрические объекты начали систематически переводить на язык уравнений. Полярные координаты и параметрические описания стали особенно важны вместе с развитием математического анализа в XVII-XVIII веках: движение, касательные, площади и длины кривых потребовали описывать точку не только через x и y, но и через угол, расстояние или параметр. Ньютон и Лейбниц развивали методы анализа, которые позже стали стандартным языком для производных параметрических кривых, длин дуг и площадей. Современная учебная запись формул является результатом этой общей линии, а не изобретением одного автора.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в школьно-вузовском смысле. Корректнее говорить о развитии координатного метода у Декарта и Ферма, а для производных, касательных, длин дуг и площадей - о связи с аналитическими методами Ньютона, Лейбница и последующей учебной традиции анализа.

Пример

Если e=1 и ℓ=2, получаем r=2/(1+cos φ): это парабола в фокусной полярной форме. При φ=π/2 радиус равен 2. Если e=1/2 и ℓ=3, то при φ=0 получаем r=3/(1+1/2)=2, а при φ=π радиус равен 6; это отражает вытянутость эллипса относительно фокуса. После вычисления полезно сделать обратную проверку: подставить результат в исходную запись, оценить знак, единицы измерения и геометрический смысл. Если ответ описывает точку, она должна оказаться на нужной кривой; если ответ описывает длину или площадь, он не может быть отрицательным. В задачах с полярными координатами дополнительно проверяют, не описывается ли одна и та же точка несколькими парами (r, φ).

Частая ошибка

Часто путают фокальный параметр ℓ с большой полуосью эллипса. Это разные величины. Также нельзя автоматически переносить формулу r=ℓ/(1+e cos φ) на конику с другой ориентацией без поворота угла. Еще одна частая ошибка - механически переносить декартову интуицию на полярную или параметрическую запись. В полярных координатах один и тот же объект может иметь несколько эквивалентных уравнений, а в параметрической форме вертикальная касательная не является ошибкой: просто в этой точке dx/dt обращается в ноль. Перед финальным ответом нужно отдельно проверить особые значения угла или параметра.

Практика

Задачи с решением

Парабола в полярной форме

Условие. Для e=1 и ℓ=4 запишите уравнение коники.

Решение. Подстановка дает r=4/(1+cos φ). Так как e=1, это парабола.

Ответ. r=4/(1+cos φ)

Определить тип коники

Условие. В уравнении r=5/(1+1.4 cos φ) найдите тип коники.

Решение. Эксцентриситет равен 1.4>1, значит кривая является гиперболой в фокусной полярной записи.

Ответ. гипербола

Дополнительные источники

OpenStax. Calculus Volume 2, Parametric Equations and Polar Coordinates.
Paul Dawkins. Lamar University Calculus II, Parametric Equations and Polar Coordinates.

Связанные формулы

Математика

Парабола через фокус и директрису

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы.

Математика

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую.

Математика

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали.

Математика

Каноническое уравнение параболы

$y-k = a(x-h)^2$

Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y.