Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Канонический вид в главных осях

В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраКанонический вид

Формула

$$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$$
diagram Каноническая форма после диагонализации

В главных осях форма представляется как сумма масштабированных квадратов координат.

Вырожденные и смешанные случаи сразу считываются по λ_i.

Обозначения

$z_i$
координаты в главных осях, скаляры
$\lambda_i$
диагональные коэффициенты, скаляры
$\Lambda$
диагональная матрица в новых координатах, n×n матрица
$Q$
ортогональная матрица перехода, n×n матрица

Условия применения

  • Предварительно сделана ортогональная диагонализация A.
  • Координаты z связаны с x через x=Qz.
  • Для геометрической нормализации допускается дополнительный масштаб z_i.

Ограничения

  • Нулевые λ_i дают вырождение — квадратичная поверхность теряет полноту типа.
  • Отрицательные λ_i меняют знак квадратичной формы и тип фигуры.
  • Знак и порядок λ_i обычно берут по конвенции для единой записи.

Подробное объяснение

После перехода к главным осям все смешанные члены исчезают; тип определяется только числом положительных, нулевых и отрицательных λ_i.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Канонический вид в главных осях" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Выпиши Λ из Q^T A Q.
  2. Сортируй λ_i по модулю или знаку по нужной конвенции.
  3. Подставь в q=Σ λ_i z_i^2.
  4. Используй знаки λ_i для классификации (эллиптический, параболический, гиперболический случай).

Историческая справка

Канонические формы квадратичных форм — стандартный инструмент классической геометрии и теории квадрик.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Используются в геометрии многообразий и линейной алгебре начиная с XVIII–XIX веков. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

Для λ=(5,0, -2), q=5z1^2-2z3^2, что указывает на вырожденную гиперболическую структуру в новых осях. Дополнительная проверка для "Канонический вид в главных осях": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Переходить к q=Σλ_i z_i^2 и сразу считать поверхность эллипсоидом без проверки знаков и нулей. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Составить канонический многочлен

Условие. q=2x^2+2xy+2y^2.

Решение. По предыдущему повороту λ=(4,0), поэтому в главных осях q=4u^2.

Ответ. Канонический вид: q=4u^2.

Классификация по знакам

Условие. Λ = diag(3,-2,1).

Решение. Один отрицательный коэффициент => сигнатура (2,1,0).

Ответ. Форма имеет индекс инерции (2 положительных, 1 отрицательный).

Дополнительные источники

  • Sylvester, The Law of Inertia (исторический источник)
  • Golub & Van Loan, Matrix Computations

Связанные формулы

Математика

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.

Математика

Устранение смешанного члена в 2D

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.

Математика

Определенность через главные миноры

$A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.$

Критерий Сильвестра даёт практичный способ определить знак квадратичной формы через детерминанты ведущих главных миноров симметрической матрицы.