Математика / Матрицы, определители

Снятие линейного члена через сдвиг центра

Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра Канонический вид

Формула

x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).

diagram Сдвиг центра уровня

Форма с линейной частью превращается в центрированную форму относительно x0.

График показывает, как поверхность перемещается без изменения ориентации осей.

Обозначения

$b$: вектор линейной части, вектор
$c$: свободный член, скаляр
$x_0$: вектор сдвига центра, вектор
$A^{-1}$: обратная матрица к A, n×n матрица

Условия применения

Матрица A должна быть обратимой.
Используется представление f(x)=x^T A x+2b^T x+c.
Работа с вещественными числами.
Sдвиг выбирается после симметризации матрицы.

Ограничения

Если A сингулярна, формула с A^{-1} неприменима напрямую.
Плохая обусловленность A ухудшает вычисление x₀.
При больших размерностях лучше решать x0 через линейную систему A x0 = -b.

Подробное объяснение

Подставляя x=z−x0 (или x=z+x0 при эквивалентной записи), смешанные линейные члены сокращаются, и остаётся чистая форма в новых координатах.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Снятие линейного члена через сдвиг центра" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

Запиши f(x)=x^T A x+2b^T x+c.
Найди x0 из уравнения A x0 = -b.
Сделай замену x = y - x0.
Полученную константу c' = c - b^T A^{-1} b используешь для уровня поверхности.

Историческая справка

Идея завершения квадрата была ключевой в аналитической геометрии и уравнениях квадрик уже в классической школе.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Объединяет методы нормализации многочленов и линейной алгебры. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

f(x,y)=x^2+y^2+2x+4y+3 => x0=(-1,-2), f=(x+1)^2+(y+2)^2-2. Дополнительная проверка для "Снятие линейного члена через сдвиг центра": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Нельзя переносить знак минус в формуле x0 = -A^{-1}b, если уже уже записываешь форму как 2b^T x. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Найти центр сдвига

Условие. f=x^2+y^2+2x+4y+3.

Решение. A=I, b=(1,2), x0=-b=(-1,-2). Тогда f=(x+1)^2+(y+2)^2-2.

Ответ. x0=(-1,-2), константа после сдвига: -2.

Минимальное значение

Условие. То же f.

Решение. Минимум достигается в x=(-1,-2) и равен -2.

Ответ. min f = -2.

Дополнительные источники

Marsden & Tromba, Vector Calculus
Shafarevich, Linear Algebra and Geometry

Связанные формулы

Математика

Квадратичная форма как квадратичная функция вектора

$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$

Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x.

Математика

Квадратичная форма при смене переменных

$x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$

При обратимой линейной замене x = S y матрица формы меняется по сопряжённому преобразованию, а сама квадратичная форма остаётся той же величиной.

Математика

Устранение смешанного члена в 2D

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.