Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Квадратичная форма как квадратичная функция вектора

Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебра

Формула

$$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$$
diagram Вектор и матрица в формуле квадратичной формы

Графически показано соответствие между скалярным произведением и матричной записью q(x)=x^T A x.

Матрица A кодирует геометрию квадратичной поверхности.

Обозначения

$x$
входной вектор переменных, векторная величина
$A$
матрица коэффициентов квадратичной формы, n×n матрица
$q(x)$
значение квадратичной формы, скаляр
$n$
размерность пространства переменных, натуральное число

Условия применения

  • Вектор x имеет размерность n.
  • Матрица A фиксирована и численно определена.
  • Считается стандартная матричная запись в евклидовом базисе.

Ограничения

  • Если A сингулярна, форма может быть вырожденной и терять положительную определённость.
  • Несовместимые размерности A и x делают выражение некорректным.
  • Надёжность интерпретации зависит от корректной записи коэффициентов.

Подробное объяснение

Через двойной суммарный вид видно, что коэффициенты a_{ij} отвечают за члены x_i x_j, а через матричную форму удобно применять теоремы о базисах и собственных значениях.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Квадратичная форма как квадратичная функция вектора" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Задай матрицу A и вектор x.
  2. Проверь размерности и симметричность/эквивалентность формы.
  3. Вычисли x^T A x как скаляр.
  4. Сравни результаты с явной формой полинома по x_i x_j.

Историческая справка

Матричная форма квадратичных функций появилась как компактная нотация в ранних курсах линейной алгебры и стала стандартной в теории форм и геометрии квадратичных поверхностей.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Классическая линейная алгебра и теория матриц, включая работы XIX века по преобразованиям форм. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

При A = [[2,1],[1,3]] и x=(1,2)^T получаем q(x)=x^T A x = 18. Дополнительная проверка для "Квадратичная форма как квадратичная функция вектора": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Частая ошибка — подставлять x как строковый вектор вместо столбца; порядок умножения в матричной форме должен быть соблюдён. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Подстановка в матричную форму

Условие. A = [[2, 1], [1, 3]], x=(1,2)^T.

Решение. q = (1,2) [[2,1],[1,3]] (1,2)^T = (1,2)(4,7)^T = 18.

Ответ. q(x)=18.

Нулевой вектор

Условие. Остальные данные как в предыдущей задаче, x=(0,0)^T.

Решение. q(0)=0^T A 0 = 0.

Ответ. Значение квадратичной формы равно 0.

Дополнительные источники

  • Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed.
  • Lay, Linear Algebra and Its Applications, Ch. 6

Связанные формулы

Математика

Построение матрицы квадратичной формы из полинома

$q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$

Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки.

Математика

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.