Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Тождества для тангенса и котангенса

Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияАлгебраКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$$
Цепочка вывода Деление основного тождества

Показаны две ветви от sin²x + cos²x = 1: деление на cos²x дает тождество тангенса, деление на sin²x дает тождество котангенса.

Тождества не нужно учить изолированно: они выводятся из основного.

Обозначения

$\tan x$
тангенс угла x
$\cot x$
котангенс угла x
$\sin x$
синус угла x
$\cos x$
косинус угла x

Условия применения

  • Для первого тождества требуется cos x != 0.
  • Для второго тождества требуется sin x != 0.
  • Все функции относятся к одному и тому же углу x.

Ограничения

  • Нельзя применять первое тождество при углах, где тангенс не определен.
  • Нельзя применять второе тождество при углах, где котангенс не определен.
  • Формулы являются тождествами на своей области определения, поэтому запрещенные значения нужно учитывать при решении уравнений.

Подробное объяснение

Оба тождества являются следствиями основного тригонометрического тождества. Если sin²x + cos²x = 1 разделить на cos²x, получится sin²x/cos²x + 1 = 1/cos²x. Так как sin x / cos x = tan x, получаем 1 + tan²x = 1/cos²x.

Аналогично, если разделить основное тождество на sin²x, получится 1 + cos²x/sin²x = 1/sin²x. Отношение cos x / sin x равно cot x, значит 1 + cot²x = 1/sin²x.

Эти формулы полезны в задачах, где выражения содержат квадраты тангенса или котангенса. Вместо перехода к синусам и косинусам каждый раз можно сразу заменять комбинации по тождеству.

Важно помнить область определения. Деление на cos²x возможно только при cos x != 0, а деление на sin²x - только при sin x != 0. В тождествах это не мелкая формальность, а защита от деления на ноль.

В уравнениях такие преобразования могут менять область допустимых значений. Поэтому после преобразования полезно отдельно проверить, не включили ли запрещенные углы.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, какая функция встречается: тангенс или котангенс.
  2. Проверьте область определения: cos x != 0 или sin x != 0.
  3. Замените 1 + tan²x на 1/cos²x или 1 + cot²x на 1/sin²x.
  4. Если нужно найти sin или cos, учитывайте знак по четверти.
  5. После решения уравнения проверьте запрещенные значения.

Историческая справка

Тождества для тангенса и котангенса появились как часть систематизации тригонометрических функций. После того как синус и косинус стали базовыми функциями на окружности, остальные функции удобно выражать через их отношения. Основное тождество, связанное с уравнением единичной окружности, дало целую группу производных тождеств. В школьной тригонометрии 10 класса эти формулы показывают, как из одного геометрического факта получается набор алгебраических инструментов для преобразований. Исторически это отражает переход от таблиц значений к символьной работе с функциями. Такие тождества сделали тригонометрию удобной для уравнений, доказательств и дальнейшего анализа.

Историческая линия формулы

У этих тождеств нет отдельного автора. Они являются алгебраическими следствиями основного тригонометрического тождества и определений тангенса и котангенса; исторически относятся к общей традиции развития тригонометрии и аналитической записи функций.

Пример

Пусть tan x = 2, и нужно найти 1/cos²x. По тождеству 1 + tan²x = 1/cos²x получаем 1/cos²x = 1 + 2² = 5. Это не означает, что cos x = 1/5. На самом деле cos²x = 1/5, а сам cos x может быть положительным или отрицательным в зависимости от четверти. Проверка через пример: если tan x = 2, то отношение sin x к cos x равно 2, и основное тождество приводит именно к cos²x = 1/(1+4). Поэтому тождество удобно для квадратов, но знак функции требует отдельного анализа. В уравнениях это место часто требует отдельной проверки корней.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать квадрат и писать 1 + tan x = 1/cos x. Вторая ошибка - извлекать корень без учета знака косинуса или синуса. Третья ошибка - применять формулу при запрещенных значениях, например при cos x = 0 для тангенса. Еще одна ошибка - думать, что тождества нужно запоминать отдельно: они быстро выводятся из sin²x + cos²x = 1 делением на нужный квадрат.

Практика

Задачи с решением

Значение обратного квадрата косинуса

Условие. tan x = 3. Найдите 1/cos²x.

Решение. 1 + tan²x = 1/cos²x, значит 1/cos²x = 1 + 9 = 10.

Ответ. 10

Значение обратного квадрата синуса

Условие. cot x = 4. Найдите 1/sin²x.

Решение. 1 + cot²x = 1/sin²x, значит 1/sin²x = 1 + 16 = 17.

Ответ. 17

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Trigonometric Identities
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Trigonometric Identities

Связанные формулы

Математика

Тангенс через синус и косинус

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.