Все формулы РФ

Математика / Функции и графики

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классФункции и графикиЛинейные уравнения и преобразованияКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$y = kx$$

Обозначения

$x$
независимая переменная, зависит от задачи
$y$
зависимая переменная, зависит от задачи
$k$
коэффициент пропорциональности, отношение единиц y к единицам x

Условия применения

  • Отношение y / x постоянно для ненулевых x.
  • Зависимость можно записать в виде y = kx.
  • График зависимости проходит через точку (0, 0).

Ограничения

  • Если при x = 0 значение y не равно 0, зависимость не является прямой пропорциональностью, хотя может быть линейной.
  • Коэффициент k должен оставаться постоянным в пределах рассматриваемой задачи.
  • Нельзя проверять пропорциональность только по одной паре значений; нужны правило или несколько согласованных пар.

Подробное объяснение

Прямая пропорциональность означает, что зависимая величина растет или уменьшается в одном и том же отношении к независимой. Если x увеличить в 2 раза, y тоже увеличится в 2 раза; если x уменьшить в 3 раза, y уменьшится в 3 раза. Это происходит потому, что множитель k остается постоянным.

График y = kx является прямой, проходящей через начало координат. Точка (0, 0) важна: при нулевом количестве товара стоимость равна нулю, при нулевом времени путь равен нулю, если движение начинается от отсчета. Коэффициент k определяет наклон прямой: чем больше k по модулю, тем круче идет график.

В задачах полезно проверять три представления зависимости: формулу, таблицу и график. Если все значения таблицы дают одно и то же отношение y / x, а график проходит через начало координат, модель прямой пропорциональности выбрана правильно.

Если коэффициент k отрицателен, зависимость убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Это тоже прямая пропорциональность, если сохраняется вид y = kx.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, есть ли постоянное отношение y / x.
  2. Найдите коэффициент пропорциональности k.
  3. Запишите формулу y = kx.
  4. Постройте несколько точек, включая (0, 0), если нужен график.
  5. Проверьте, не появляется ли дополнительный свободный член.

Историческая справка

Идея пропорциональности возникла из практических задач измерения, торговли, подобия фигур и распределения величин. Еще до современной функции люди пользовались отношениями: во сколько раз больше одна величина, во столько же раз больше другая. В школьной алгебре запись y = kx связывает древнюю идею пропорции с современным языком функций и графиков. Поэтому тема важна как переход от арифметических отношений к функциональному мышлению: ученик видит, что зависимость можно описать формулой, таблицей и прямой на координатной плоскости. Такая связь делает прямую пропорциональность одной из базовых моделей прикладных задач: цена, скорость, плотность, масштаб и другие постоянные отношения выражаются через один коэффициент.

Историческая линия формулы

У формулы прямой пропорциональности нет единственного автора. Она отражает общую идею пропорциональных величин, которая развивалась в арифметике, геометрии и практических измерениях. В современной школьной форме она связана с языком функций и координат.

Пример

Пусть один блокнот стоит 35 рублей. Тогда стоимость y для x блокнотов равна y = 35x. Если x = 2, то y = 70; если x = 5, то y = 175. Отношение y / x в обоих случаях равно 35, значит коэффициент пропорциональности постоянен. При x = 0 стоимость равна 0, поэтому график проходит через начало координат. Если бы к покупке добавлялась фиксированная доставка 100 рублей, формула стала бы y = 35x + 100, и это уже была бы линейная функция, но не прямая пропорциональность. Отличие видно по графику: вторая прямая пересекла бы ось y в точке 100, а не в начале координат.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать любую линейную формулу прямой пропорциональностью. Формула y = kx + b при b не равном нулю не проходит через начало координат, поэтому прямой пропорциональностью не является. Еще одна ошибка - путать коэффициент k с конкретным значением y: k показывает, во сколько раз меняется y при увеличении x на одну единицу, а не значение функции при любом x.

Практика

Задачи с решением

Составить формулу стоимости

Условие. 1 кг яблок стоит 90 рублей. Запишите стоимость y для x килограммов.

Решение. Стоимость прямо пропорциональна массе: коэффициент пропорциональности равен 90 рублей за килограмм. Значит, y = 90x.

Ответ. y = 90x

Проверить таблицу

Условие. Является ли зависимость прямой пропорциональностью: x = 2, 4, 6; y = 10, 20, 30?

Решение. Находим отношения: 10/2 = 5, 20/4 = 5, 30/6 = 5. Отношение постоянно, значит y = 5x.

Ответ. Да, это прямая пропорциональность с k = 5

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: линейная функция, прямая пропорциональность и графики
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: функции и графики

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задается формулой y = kx + b и имеет график в виде прямой.

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой показывает, как меняется y при изменении x.

Математика

График линейной функции по двум точкам

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.