Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭАлгебраАрифметическая и геометрическая прогрессииКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Парное сложение Пары с одинаковой суммой

Первый и последний члены соединены дугой, второй и предпоследний - другой дугой; каждая пара имеет одинаковую сумму.

Формула суммы основана на среднем первого и последнего членов.

Обозначения

$S_n$
сумма первых n членов прогрессии
$a_1$
первый член прогрессии
$a_n$
n-й член прогрессии
$n$
число складываемых членов

Условия применения

  • Последовательность является арифметической прогрессией.
  • Суммируются именно первые n членов, от a1 до an.
  • Номер n является натуральным числом, а an относится к этому же n.

Ограничения

  • Если известны a1, d и n, но an не дан, его сначала находят по формуле n-го члена или используют форму S_n = n(2a1+(n-1)d)/2.
  • Формула не подходит для геометрической прогрессии.
  • Нельзя подставлять последний член участка, если суммирование начинается не с первого члена, без корректировки.

Подробное объяснение

Сумма арифметической прогрессии основана на парном сложении. Первый и последний члены дают одну сумму, второй и предпоследний - такую же, и так далее. Поэтому среднее значение всех членов равно среднему первого и последнего.

Если среднее значение умножить на число членов n, получится сумма. Именно поэтому формула выглядит как среднее арифметическое a1 и an, умноженное на n.

Формула работает и для возрастающей, и для убывающей прогрессии. Если члены отрицательные или разность отрицательная, сумма может уменьшаться или быть отрицательной, но логика среднего остается той же.

В задачах часто сначала нужно найти an. Например, если даны a1, d и n, то an = a1 + (n-1)d, а затем уже используется формула суммы. Это два связанных шага, а не две несвязанные темы.

На ОГЭ формула встречается в текстовых задачах, где нужно сложить много значений с постоянным приростом. Главное - увидеть, что последовательность действительно арифметическая.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что дана арифметическая прогрессия.
  2. Найдите первый и n-й члены участка суммы.
  3. Сложите a1 и an и разделите результат на 2.
  4. Умножьте среднее значение на число членов n.
  5. Проверьте, не перепутали ли число членов с числом промежутков.

Историческая справка

Классический сюжет о быстром сложении чисел от 1 до 100 часто связывают с юным Карлом Гауссом, хотя сама идея парного сложения значительно старше. Арифметические суммы встречались в древних задачах о рядах, площадях, выплатах и счете предметов. Современная формула суммы первых n членов стала стандартной частью школьной алгебры, потому что показывает красивый переход от длинного сложения к короткому выражению. Она также показывает, что сумма равномерно меняющихся величин равна среднему значению, умноженному на количество. Поэтому формула полезна и как вычислительный прием, и как идея среднего. В 9 классе она важна не только сама по себе, но и как пример работы с закономерностями.

Историческая линия формулы

Формула суммы арифметической прогрессии не имеет единственного автора. Исторически ее часто иллюстрируют парным сложением и легендой о Гауссе, но сама идея относится к общей традиции вычисления конечных арифметических рядов.

Пример

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если a1 = 3, a20 = 41. Подставляем: S20 = (a1 + a20)/2 * 20 = (3 + 41)/2 * 20 = 44/2 * 20 = 22*20 = 440. Проверка по смыслу: пары с начала и конца дают одинаковую сумму: 3 + 41 = 44, 5 + 39 = 44, и таких пар 10, поэтому 44*10 = 440. Формула фактически использует этот же принцип парного сложения. В ответе важно указать, что 20 - это число членов, а не последний член сам по себе; последний член уже равен 41. Если перепутать эти роли, сумма получится неверной.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать деление на 2 и получать сумму вдвое больше. Вторая ошибка - подставлять разность d вместо последнего члена an. Третья ошибка - использовать количество промежутков n - 1 вместо числа членов n. Еще одна ошибка - применять формулу к участку прогрессии, который начинается не с a1, но обозначать сумму как S_n без уточнения.

Практика

Задачи с решением

Сумма по первому и последнему

Условие. a1 = 2, a10 = 20. Найдите S10.

Решение. S10 = (2+20)/2*10 = 11*10 = 110.

Ответ. 110

Сначала найти последний член

Условие. a1 = 5, d = 3. Найдите сумму первых 6 членов.

Решение. a6 = 5 + 5*3 = 20. S6 = (5+20)/2*6 = 75.

Ответ. 75

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Arithmetic Sequences
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: числовые последовательности

Связанные формулы

Математика

n-й член арифметической прогрессии

$a_n=a_1+(n-1)d$

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

Математика

n-й член геометрической прогрессии

$b_n=b_1 q^{n-1}$

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.