Математика / Начала анализа

Признак возрастания и убывания через производную

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по математике за 11 класс Формулы по математике для ЕГЭ профиль Начала математического анализа Функции и графики Есть историческая справка

Формула

f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow

График знаков Знак производной задает направление графика

Плюс у производной соответствует росту графика, минус - убыванию.

Метод интервалов для f'(x) превращается в карту поведения f(x).

Обозначения

$f'(x)$: производная функции на интервале
$f\uparrow$: функция возрастает
$f\downarrow$: функция убывает

Условия применения

Функция дифференцируема на рассматриваемом интервале.
Знак производной сохраняется на всем интервале, кроме, возможно, отдельных точек, не меняющих монотонность.
Интервалы выбираются с учетом области определения функции.

Ограничения

Знак производной в одной точке не доказывает возрастание на целом интервале.
Если производная равна нулю в отдельных точках, нужно смотреть знак на промежутках, а не делать вывод только по нулю.
Точки разрыва и точки вне области определения не могут быть включены в промежутки монотонности.

Подробное объяснение

Производная показывает локальную скорость изменения функции. Если на интервале f'(x)>0, то при движении вправо значения функции увеличиваются: график идет вверх. Если f'(x)<0, значения функции уменьшаются: график идет вниз. Поэтому знак производной является главным инструментом для определения монотонности.

На практике сначала находят производную, затем решают уравнение f'(x)=0 и отмечают точки, где производная не существует или где исходная функция не определена. Эти точки делят область определения на промежутки. На каждом промежутке знак производной обычно постоянен, и его можно проверить подстановкой удобного числа или методом интервалов.

Важно, что производная анализируется на интервале, а не только в одной точке. Нулевая производная в точке не означает, что функция перестала возрастать навсегда. Например, у функции x^3 производная равна нулю при x=0, но функция возрастает на всей числовой прямой. Поэтому главный объект исследования - знак производной между критическими точками.

Как пользоваться формулой

Найдите область определения функции.
Вычислите производную f'(x).
Найдите нули производной и точки, где она не существует.
Разбейте область определения на интервалы.
Определите знак f'(x) на каждом интервале и сделайте вывод о монотонности.

Историческая справка

Связь между производной и поведением графика стала одним из главных применений анализа. Сначала производная возникала из задач о касательных и скоростях, но быстро стало ясно, что знак производной дает способ исследовать функции без подробного построения. Это особенно важно для задач на максимумы, минимумы и оптимизацию, которыми занимались еще Ферма и последующие математики XVII-XVIII веков. Ньютоновская и лейбницева традиции дали общий аппарат производных, а развитие строгого анализа уточнило условия, при которых знак производной действительно гарантирует возрастание или убывание. В школьном курсе этот признак является рабочей основой исследования функций и графиков производной.

Историческая линия формулы

Признак монотонности через знак производной является следствием теории производной и теорем о среднем значении. Исторически он связан с развитием анализа после работ Ферма, Ньютона и Лейбница, а не с одной изолированной формулой.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Исследуем f(x)=x^3-3x на возрастание и убывание. Производная f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). Нули производной: x=-1 и x=1. Эти точки делят числовую прямую на промежутки (-∞;-1), (-1;1), (1;∞). На первом промежутке производная положительна, потому что оба множителя отрицательны и их произведение положительно; функция возрастает. На промежутке (-1;1) производная отрицательна; функция убывает. На промежутке (1;∞) производная снова положительна; функция возрастает. Такой анализ сразу показывает форму графика без построения по многим точкам.

Частая ошибка

Частая ошибка - находить нули производной и сразу объявлять их ответом, хотя вопрос может быть о промежутках возрастания или убывания. Вторая ошибка - забывать область определения исходной функции, особенно у дробей и логарифмов. Еще одна ошибка - определять знак производной только по старшему коэффициенту, не проверяя промежутки между корнями. В задачах по графику производной иногда путают знак f'(x) с положением графика f(x) выше или ниже оси.

Практика

Задачи с решением

Промежутки монотонности

Условие. Найдите промежутки возрастания функции f(x)=x^2-4x.

Решение. f'(x)=2x-4. Производная положительна при x>2 и отрицательна при x<2. Значит, функция убывает на (-∞;2) и возрастает на (2;∞).

Ответ. возрастает на (2;∞), убывает на (-∞;2)

Знак производной

Условие. Если f'(x)<0 на интервале (1;5), что можно сказать о функции на этом интервале?

Решение. Отрицательная производная означает, что при увеличении x значения функции уменьшаются.

Ответ. функция убывает на (1;5)

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, раздел Derivatives and the Shape of a Graph
OpenStax Calculus Volume 1, раздел Maxima and Minima
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ по математике 2026

Связанные формулы

Математика

Критические точки и экстремум функции

$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$

Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.

Математика

Уравнение касательной к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.