Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Собственное пространство матрицы

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыСобственное пространствоЯдро отображенияГеометрическая кратность

Формула

$$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$$
eigenspace-line Собственное пространство как ядро

На плоскости показана прямая E_lambda, которая состоит из нуля и всех собственных векторов одного собственного значения.

Собственные векторы - ненулевые точки собственного пространства.

Обозначения

$E_\lambda$
собственное пространство для значения lambda, подпространство
$\ker(A-\lambda I)$
ядро матрицы A-lambda I, подпространство
$A$
квадратная матрица или оператор, матрица n x n
$\lambda$
собственное значение матрицы A, число

Условия применения

  • lambda должно быть собственным значением; иначе ядро A-lambda I может состоять только из нуля.
  • Матрица A должна быть квадратной.
  • Собственные векторы - это ненулевые элементы E_lambda, хотя само подпространство включает нулевой вектор.

Ограничения

  • Нулевой вектор входит в E_lambda как часть подпространства, но не считается собственным вектором.
  • Размерность E_lambda может быть меньше алгебраической кратности lambda.
  • Для разных собственных значений собственные пространства пересекаются только по нулевому вектору, но их сумма не всегда заполняет все пространство.

Подробное объяснение

Из уравнения Av=lambda v сразу получается (A-lambda I)v=0. Значит все собственные векторы для lambda лежат в ядре A-lambda I. Обратно, любой ненулевой вектор из этого ядра удовлетворяет Av=lambda v и поэтому является собственным. Если добавить нулевой вектор, получаем полноценное подпространство E_lambda.

Собственное пространство удобно тем, что оно превращает новую тему в старый инструмент. Чтобы найти E_lambda, нужно решить однородную систему, привести матрицу A-lambda I к ступенчатому виду, выделить свободные переменные и записать базис ядра. Поэтому все навыки из тем о ядре, ранге и свободных переменных здесь используются напрямую.

Размерность собственного пространства называется геометрической кратностью. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda. Именно эта размерность важна для диагонализации: чтобы построить базис из собственных векторов, суммарно нужно набрать n независимых собственных векторов.

Если у матрицы разные собственные значения, соответствующие собственные векторы линейно независимы. Но если собственное значение повторяется, ситуация тоньше. Алгебраическая кратность может быть больше геометрической, и тогда матрица не диагонализуется. Поэтому собственное пространство - главный диагностический объект после нахождения корней характеристического многочлена.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите собственное значение lambda.
  2. Составьте матрицу A-lambda I.
  3. Решите однородную систему (A-lambda I)v=0.
  4. Запишите общее решение как линейную оболочку базисных векторов.
  5. Ненулевые векторы этой оболочки являются собственными векторами.

Историческая справка

Собственные пространства стали естественными после того, как собственные значения начали рассматривать не только как корни уравнения, но и как направления действия оператора. Ранние задачи часто интересовались самими характеристическими корнями, например в механике и колебаниях. Однако для диагонализации и нормальных форм важно знать не только число lambda, но и все направления, которые ему соответствуют. Работы по линейным подстановкам, матрицам и каноническим формам в XIX веке подготовили этот язык. Камиль Жордан особенно важен в исторической перспективе: его нормальная форма показывает, что происходит, когда собственных векторов недостаточно и собственные пространства меньше, чем хотелось бы.

Историческая линия формулы

Собственное пространство как ker(A-lambda I) является современной формулировкой, основанной на языке ядер, подпространств и линейных операторов. Исторически его уместно связывать с развитием спектральной теории у Коши, матричной алгебры у Кэли и Сильвестра и нормальных форм у Камиля Жордана.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Камиль Жордан 1838-1922Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть A=[[3,1],[0,3]]. Собственное значение lambda=3, потому что характеристический многочлен равен (lambda-3)^2. Найдем собственное пространство: A-3I=[[0,1],[0,0]]. Решаем (A-3I)v=0, то есть y=0. Значит E_3={ (x,0)^T : x принадлежит R }=span{(1,0)^T}. Все ненулевые векторы на этой прямой являются собственными для lambda=3. Хотя алгебраическая кратность lambda=3 равна 2, собственное пространство одномерно. Это важный пример: повторяющийся корень характеристического многочлена не гарантирует два независимых собственных вектора.

Частая ошибка

Частая ошибка - исключить нулевой вектор из собственного пространства. Нулевой вектор не является собственным вектором, но пространство без него уже не было бы подпространством. Вторая ошибка - решать систему (A-lambda I)v=b с ненулевой правой частью; для собственных векторов нужна однородная система. Третья ошибка - считать, что если lambda имеет кратность 2, то E_lambda обязательно двумерно. Геометрическую кратность нужно считать через размерность ядра.

Практика

Задачи с решением

Найти собственное пространство

Условие. A=[[2,0],[0,5]]. Найдите E_2.

Решение. A-2I=[[0,0],[0,3]]. Система дает 3y=0, значит y=0, а x свободен.

Ответ. E_2=span{(1,0)^T}.

Базис собственного пространства

Условие. A=[[4,1],[0,4]]. Найдите базис E_4.

Решение. A-4I=[[0,1],[0,0]]. Система дает y=0, x свободен.

Ответ. Базис E_4: {(1,0)^T}.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and Eigenvectors
  • TUDelft Interactive Linear Algebra, algebraic and geometric multiplicity
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, eigenspaces

Связанные формулы

Математика

Собственное значение и собственный вектор

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление.

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.

Математика

Геометрическая кратность собственного значения

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.