Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$$
Формулы из сложения Двойной угол как x + x

Схема показывает, как из формул sin(α+β) и cos(α+β) при α = β = x появляются формулы двойного угла.

Двойной угол - это частный случай формул сложения.

Обозначения

$x$
угол или аргумент, рад или °
$\sin 2x$
синус двойного угла
$\cos 2x$
косинус двойного угла

Условия применения

  • Формулы верны для любого действительного x.
  • Все тригонометрические функции используют одну и ту же меру угла.
  • При вычислениях на калькуляторе режим должен соответствовать записи угла.

Ограничения

  • Нельзя заменять sin 2x на 2 sin x без множителя cos x.
  • У косинуса двойного угла есть несколько равносильных форм, и нужно выбирать подходящую к задаче.
  • Если переходят к квадратам, можно потерять информацию о знаке исходной функции.

Подробное объяснение

Формулы двойного угла получаются из формул сложения, если взять два одинаковых угла: x + x. Для синуса это дает sin(x+x)=sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Для косинуса получаем cos(x+x)=cos x cos x - sin x sin x = cos²x - sin²x. Используя основное тождество sin²x + cos²x = 1, эту формулу можно переписать как cos 2x = 2cos²x - 1 или cos 2x = 1 - 2sin²x.

Эти преобразования важны, потому что позволяют менять аргумент функции. Иногда выражение с 2x проще заменить через функции x, а иногда наоборот удобно свернуть 2 sin x cos x в sin 2x.

В уравнениях формулы двойного угла часто помогают привести все к одной функции. Например, cos 2x можно заменить через sin²x, если в уравнении уже есть sin x. Выбор формы зависит от того, что требуется упростить.

При работе с квадратами нужно помнить о знаках. Если известно только sin²x, нельзя однозначно восстановить sin x без информации о четверти или дополнительных условиях.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, нужно раскрыть двойной угол или свернуть произведение.
  2. Для sin 2x используйте 2 sin x cos x.
  3. Для cos 2x выберите удобную форму: cos²x - sin²x, 2cos²x - 1 или 1 - 2sin²x.
  4. Подставьте известные значения или преобразуйте выражение.
  5. Проверьте знак результата по четверти и диапазон от -1 до 1.

Историческая справка

Формулы двойного угла являются частью классического набора тригонометрических преобразований. Они возникли из потребности вычислять функции кратных углов и преобразовывать выражения при составлении таблиц, решении геометрических и астрономических задач. В современной школьной записи эти формулы удобно выводятся из формул сложения, что показывает их место в системе, а не как отдельные правила для запоминания. В 10 классе они становятся мостом к формулам понижения степени, преобразованиям произведений и более сложным тригонометрическим уравнениям. Исторически кратные углы были важны для вычислений задолго до калькуляторов, а сейчас они важны для символических преобразований. Поэтому формулы двойного угла остаются практическим инструментом, а не только наследием таблиц.

Историческая линия формулы

Формулы двойного угла не имеют одного автора. Они являются частным случаем формул сложения и относятся к общей истории тригонометрии, где вычисления кратных углов были важны для таблиц, астрономии и последующей алгебраической обработки функций.

Пример

Пусть sin x = 3/5, cos x = 4/5. Тогда sin 2x = 2 sin x cos x = 2*(3/5)*(4/5) = 24/25. Косинус двойного угла: cos 2x = cos²x - sin²x = 16/25 - 9/25 = 7/25. Проверка через основное тождество для двойного угла: (24/25)^2 + (7/25)^2 = 576/625 + 49/625 = 625/625 = 1. Значит значения согласованы. Если угол x находится в другой четверти, знаки sin x и cos x могут изменить знак sin 2x, поэтому данные о четверти важны. Для cos 2x знак тоже лучше проверять по положению угла 2x на окружности и графике функции.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать sin 2x = 2 sin x и терять множитель cos x. Вторая ошибка - считать cos 2x равным 2 cos x, что неверно. Третья ошибка - забывать альтернативные формы cos 2x = 2cos²x - 1 и cos 2x = 1 - 2sin²x, которые часто удобнее. Еще одна ошибка - применять формулы в обратную сторону без учета, что квадрат функции не определяет ее знак.

Практика

Задачи с решением

Синус двойного угла

Условие. sin x = 1/2, cos x = √3/2. Найдите sin 2x.

Решение. sin2x = 2 sin x cos x = 2*(1/2)*(√3/2) = √3/2.

Ответ. √3/2

Косинус двойного угла

Условие. cos x = 3/5, sin x = 4/5. Найдите cos 2x.

Решение. cos2x = cos²x - sin²x = 9/25 - 16/25 = -7/25.

Ответ. -7/25

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Double-Angle Identities

Связанные формулы

Математика

Формула синуса суммы

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.

Математика

Формула косинуса суммы

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.

Математика

Тождества для тангенса и котангенса

$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$

Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.