Математика / Пределы, ряды

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — это обратное правило произведения для производных. Когда подынтегральное выражение является произведением двух функций, один из множителей берут для дифференцирования, другой — для интегрирования, чтобы упростить вычисление. Правило основано на формуле (uv)'=u'v+uv'.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Обозначения

$u$: Функция, которую удобно дифференцировать, соответствует выбранной части произведения
$dv$: Фрагмент, который удобно интегрировать, соответствует выбранной второй части
$du$: Дифференциал u, единицы u/x
$v$: Интеграл от dv, функция

Условия применения

Выражение должно быть представленным как произведение функций u·v'.
Нужна возможность интегрировать dv.
Выбранная пара (u, dv) должна привести к более простому остаточному интегралу.

Ограничения

Неправильный выбор u и dv может сделать задачу длиннее или циклической.
После применения формулы важно добавить общую константу C.
Метод не панацея: иногда полезнее подстановка, чем части.

Подробное объяснение

Правило напрямую следует из производной произведения: (uv)'=u'v+uv'. Интегрируя обе части и перенося один интеграл в другую сторону, получаем полезную связь: интеграл произведения u dv переходит к uv − ∫v du. Это особенно эффективно, когда u «упрощается» при дифференцировании, а dv интегрируется без труда. В теоретике это правило отражает линейность и локальную структуру производной произведения. На практике выбор u по принципу LIATE (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exp) помогает уменьшить сложность. Метод часто используется в сочетании с подстановкой и может превращать казалось бы «запутанные» произведения в стандартные примеры.

Интегрирование по частям - это обратная форма правила производной произведения. Если $(uv)'=u'v+uv'$, то один из членов можно перенести под интеграл и получить формулу $\int u,dv=uv-int v,du$. Метод особенно полезен, когда подынтегральное выражение является произведением разных типов функций: многочлена и экспоненты, логарифма и единицы, тригонометрической функции и многочлена. Главная трудность - выбор $u$ и $dv$. Хороший выбор делает новый интеграл проще, плохой - возвращает исходную сложность или даже усложняет выражение. Поэтому после выбора полезно мысленно проверить, уменьшилась ли степень, исчез ли логарифм или стала ли структура более табличной.

Как пользоваться формулой

Разложите подынтегральное выражение на u·v'.
Вычислите du и v: u — для дифференцирования, dv — для интегрирования.
Подставьте в формулу uv - ∫v du и упростите оставшийся интеграл.
При необходимости повторите шаг и добавьте константу C.

Историческая справка

Интегрирование по частям восходит к формуле производной произведения, которая была известна ещё с классических времен, но в явном интегральном виде стало массово использоваться с развитием символического анализа Лейбница и его последователей. В университетском курсе XVIII–XIX веков это правило служило мостом между дифференцированием и интегрированием сложных комбинаций. Исторически оно решало задачи, которые не поддавались простому подстановочному подходу, например произведения вида x e^x. Со временем правило вошло во все таблицы интегральных техник и стало одним из ключевых элементов экзаменационного набора.

Формула интегрирования по частям связана с общим оформлением интегрального исчисления как обратного к дифференцированию. Как только правило производной произведения стало стандартным инструментом, обратная интегральная форма естественно вошла в таблицы и учебники анализа. В XVIII-XIX веках метод активно использовался в механике, небесной механике и математической физике, где интегралы от произведений функций появляются постоянно. Его историческая ценность не в отдельном авторском открытии, а в том, что он показывает зрелость символического анализа: одно правило дифференцирования превращается в системный способ вычислять целые классы интегралов.

Историческая линия формулы

Исторически метод по частям связан с расширением дифференциального исчисления в эпоху Лейбница, где формула произведения рассматривалась как структурная основа преобразований. В последующих учебниках XIX–XX веков эта формула была превращена в устойчивый алгоритм для инженеров и физиков, поскольку хорошо работает с полиномиальными и тригонометрическими моделями. На русскоязычной традиции закрепился через систематические курсы анализа и физики, где он применяется в решениях задач механики, колебаний и электрических процессов.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Пример для $\int x e^x dx$: берём u=x, dv=e^x dx. Тогда du=dx, v=e^x. По формуле: $\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$. Другой пример: $\int x\sin x dx$, где u=x, dv=\sin x dx. Получаем $-x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$. Так видно, как убывает степень полинома и интеграл становится проще. Дополнительная задача. Найдите $\int x e^x dx$. Выбираем $u=x$, $dv=e^x dx$. Тогда $du=dx$, $v=e^x$, и по формуле получаем $xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$. Проверка производной: $(e^x(x-1))'=e^x(x-1)+e^x=e^xx$. Этот пример показывает, зачем выбирать $u$ так, чтобы его производная упрощалась, а $dv$ легко интегрировалось.

Частая ошибка

Главная ошибка — выбирать u и dv без стратегии; часто берут u=трудно интегрируемую функцию, хотя нужно брать функцию для дифференцирования, уменьшающую сложность. Вторая ошибка — перепутать формулу и поставить плюс вместо минуса перед остаточным интегралом. Ещё проблема — забывать о том, что остаточный интеграл может быть тем же по сложности или циклическим и тогда нужно решение уравнением в неизвестной.

Практика

Задачи с решением

Произведение полинома и экспоненты

Условие. Вычислите $\int x e^x dx$.

Решение. u=x, dv=e^x dx -> uv - ∫v du = xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C.

Ответ. xe^x-e^x+C

Произведение полинома и тригонометрии

Условие. Вычислите $\int x\sin x dx$.

Решение. u=x, dv=\sin x dx => du=dx, v=−\cos x. Итого x(−\cos x)-∫−\cos x dx=−x\cos x+\sin x+C.

Ответ. -x\cos x+\sin x+C

Дополнительные источники

Stewart, Calculus, Integration by Parts section
Anton, Calculus I, Chapter on Integration by Parts
Paul's Online Notes, Integration by parts rule

Связанные формулы

Математика

Метод подстановки в интегрировании

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.

Математика

Линейность неопределенного интеграла

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$

Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.

Математика

Интегралы синуса и косинуса

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Интегралы тригонометрических базовых функций сводятся к взаимной смене функций с поправкой знака: производная косинуса даёт минус синус, а синуса — косинус. Поэтому интеграл синуса даёт -cos x + C, а косинуса — sin x + C.

Математика

Обозначение неопределённого интеграла

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись $\int f(x)dx$ является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.