Все формулы РФ

Математика / Арифметика и теория чисел

Признаки делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 6 классАрифметикаТеория чиселКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$$

Обозначения

$n$
проверяемое натуральное число, число
$S(n)$
сумма цифр числа n, число
$\vdots$
делится нацело, отношение делимости

Условия применения

  • Число записано в десятичной системе счисления.
  • Нужно проверить делимость на 3 или на 9.
  • Сумма цифр вычислена без пропусков и повторного учета цифр.

Ограничения

  • Если сумма цифр делится на 3, число не обязательно делится на 9.
  • Признак сообщает только делимость, а не значение частного.
  • Для делимости на 11, 7 или 13 нужны другие правила.

Подробное объяснение

Признаки делимости на 3 и 9 основаны на том, что 10 при делении на 3 и на 9 дает остаток 1. Поэтому 10, 100, 1000 и другие степени десяти по остатку ведут себя как единица. Из-за этого число имеет тот же остаток при делении на 3 или 9, что и сумма его цифр. В школьном курсе это обычно объясняют без формальной теории остатков, но смысл именно такой: разрядная запись позволяет заменить число суммой цифр для проверки кратности.

В 6 классе правило особенно полезно при работе с дробями и делимостью. Если числитель и знаменатель оба имеют суммы цифр, делящиеся на 3, дробь можно сократить на 3. Если число нужно разложить на простые множители, признаки помогают быстро найти первые делители.

Важно различать проверку на 3 и на 9. Делимость на 9 сильнее: если число делится на 9, оно делится и на 3. Но если число делится на 3, оно может не делиться на 9. Например, 123 делится на 3, потому что сумма цифр 6, но на 9 не делится. Такая аккуратность нужна в задачах на НОД и НОК.

Как пользоваться формулой

  1. Сложите все цифры проверяемого числа.
  2. Проверьте, делится ли полученная сумма на 3.
  3. Отдельно проверьте, делится ли сумма на 9.
  4. Сделайте вывод о делимости исходного числа и при необходимости найдите частное.

Историческая справка

Признаки делимости по сумме цифр относятся к классическим приемам арифметики, которые развивались вместе с позиционной записью чисел. Они были полезны для проверки вычислений, поиска ошибок и быстрого разложения чисел на множители. В учебной традиции такие признаки передавались как практические правила задолго до строгого изучения сравнений по модулю.

Современное объяснение связывает эти признаки с остатками от деления и свойствами десятичной системы. Для 6 класса достаточно понимать, что сумма цифр сохраняет информацию о делимости на 3 и 9. Позже эта идея становится частью теории чисел: разные признаки делимости являются частными случаями рассуждений об остатках.

Историческая линия формулы

У признаков делимости на 3 и 9 нет единственного автора. Они связаны с развитием десятичной арифметики, проверкой вычислений и позже получили строгое объяснение через остатки, сравнения по модулю и свойства степеней десяти.

Пример

Проверим число 5724. Сумма цифр равна 5 + 7 + 2 + 4 = 18. Число 18 делится на 3 и на 9, значит 5724 делится и на 3, и на 9. Для проверки можно выполнить деление: 5724 : 9 = 636, а 5724 : 3 = 1908. Если бы сумма цифр была равна 21, число делилось бы на 3, но не на 9. Поэтому важно не ограничиваться фразой «сумма цифр делится»: нужно уточнить, на какой делитель проверяется сумма. В задачах на множители это помогает быстро заметить делитель 3 или 9 перед длинным делением и выбрать первый шаг разложения.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять признак делимости на 9 как признак делимости на 3 в обратную сторону: если число делится на 3, оно не обязано делиться на 9. Вторая ошибка - складывать не цифры, а разрядные слагаемые. Третья ошибка - забывать цифру 0: она не меняет сумму, но должна быть учтена как часть записи. Еще одна ошибка - считать, что если сумма цифр большая, ее нельзя снова свернуть; сумму можно складывать повторно до удобного числа.

Практика

Задачи с решением

Делимость суммы цифр

Условие. Проверьте, делится ли число 8316 на 3 и на 9.

Решение. Сумма цифр: 8 + 3 + 1 + 6 = 18. Сумма делится на 3 и на 9, значит число 8316 делится на 3 и на 9.

Ответ. Делится на 3 и на 9.

Только на 3

Условие. Проверьте число 426 на делимость на 3 и 9.

Решение. Сумма цифр: 4 + 2 + 6 = 12. Число 12 делится на 3, но не делится на 9. Значит, 426 делится на 3, но не на 9.

Ответ. На 3 делится, на 9 не делится.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Divisibility tests

Связанные формулы

Математика

Признаки делимости на 2, 5 и 10

$n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$

Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком.

Математика

Разложение числа на простые множители

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

Математика

Наибольший общий делитель

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.