Все формулы РФ

Математика / Умножение, деление

Порядок действий без скобок

В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 3 классАрифметикаУмножение, делениеЕсть историческая справка

Формула

$$\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$$

Обозначения

·, :
действия второй ступени: умножение и деление, зависит от чисел задачи
$+, -$
действия первой ступени: сложение и вычитание, зависит от чисел задачи
слева направо
порядок выполнения действий одинаковой ступени, правило чтения записи

Условия применения

  • В выражении нет скобок, которые меняют порядок действий.
  • Действия записаны обычными знаками сложения, вычитания, умножения и деления.
  • Если рядом стоят действия одной ступени, их выполняют слева направо.

Ограничения

  • Правило не разрешает менять местами вычитание и деление как угодно: действия одной ступени выполняют по записи.
  • Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия в скобках.
  • В текстовой задаче выражение должно соответствовать смыслу условия, а не только красиво выглядеть.

Подробное объяснение

Порядок действий - это соглашение о том, как читать короткую математическую запись. Без такого соглашения выражение 8 + 3 · 4 можно было бы понять двумя способами: сначала сложить 8 и 3, а потом умножить на 4, или сначала умножить 3 на 4, а затем прибавить 8. Чтобы запись была однозначной, в школьной математике установлено правило: умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания.

В 3 классе полезно говорить о двух ступенях действий. Умножение и деление - действия второй ступени. Сложение и вычитание - действия первой ступени. Сначала выполняют все действия второй ступени, двигаясь по выражению слева направо. Затем выполняют действия первой ступени тоже слева направо.

Это правило связано с практическими задачами. Если купили 3 набора по 4 карандаша и еще 8 карандашей отдельно, выражение 8 + 3 · 4 означает: сначала узнать, сколько карандашей в наборах, потом прибавить отдельные. Поэтому порядок действий не просто формальность, а способ сохранить смысл задачи в короткой записи.

Как пользоваться формулой

  1. Посмотрите, есть ли в выражении скобки; если их нет, переходите к действиям второй ступени.
  2. Выполните умножение и деление по порядку слева направо.
  3. Перепишите выражение с полученными результатами.
  4. Выполните сложение и вычитание по порядку слева направо.

Историческая справка

Современный порядок действий складывался вместе с развитием математической записи. Когда вычисления стали записывать короткими выражениями, понадобились правила, которые делают запись однозначной. Скобки, знаки умножения и деления, а также соглашения о приоритете действий развивались постепенно, особенно в европейской математике Нового времени.

Для начальной школы важно не запоминать историю символов отдельно, а понимать причину правила. Оно возникло потому, что одна строка записи должна передавать одно решение, а не несколько возможных вариантов. Поэтому порядок действий является частью математического языка: он помогает читать выражения так же устойчиво, как порядок слов помогает понимать предложение.

Историческая линия формулы

Правило порядка действий не имеет единственного автора. Это результат постепенного стандартизирования математической записи; его современная школьная форма закрепляет общепринятое соглашение о приоритете умножения и деления перед сложением и вычитанием.

Пример

Вычислим 18 - 6 : 3 + 4 · 2. Сначала выполняются деление и умножение: 6 : 3 = 2, 4 · 2 = 8. Выражение превращается в 18 - 2 + 8. Теперь остались сложение и вычитание, их выполняем слева направо: 18 - 2 = 16, 16 + 8 = 24. Ответ 24. Если бы сначала выполнить 18 - 6, получился бы другой путь и другой результат, но он был бы неверным для записи без скобок. Правило нужно именно для того, чтобы все ученики понимали одну и ту же запись одинаково. Полезно переписывать выражение после каждого шага, тогда видно, какие действия уже выполнены.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - считать строго слева направо все действия подряд, не выделяя умножение и деление. В примере 8 + 3 · 4 тогда ошибочно получают 44 вместо 20. Вторая ошибка - сначала выполнить сложение, потому что оно стоит раньше. Третья ошибка - считать, что умножение всегда раньше деления: на самом деле умножение и деление имеют одну ступень, поэтому между ними идет порядок слева направо. То же относится к сложению и вычитанию.

Практика

Задачи с решением

Пример без скобок

Условие. Вычислите 9 + 4 · 5 - 12 : 3.

Решение. Сначала 4 · 5 = 20 и 12 : 3 = 4. Получаем 9 + 20 - 4 = 29 - 4 = 25.

Ответ. 25

Покупка тетрадей

Условие. У Маши было 50 рублей. Она купила 3 тетради по 8 рублей. Сколько рублей осталось?

Решение. Запись: 50 - 3 · 8. Сначала 3 · 8 = 24, затем 50 - 24 = 26.

Ответ. 26 рублей

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Whole Numbers, Order of Operations

Связанные формулы

Математика

Порядок действий со скобками

$\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Математика

Умножение суммы на число

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты.