Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.
$(x^n)'=nx^{n-1}$
Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.
$(u\pm v)'=u'\pm v'$
Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.
$(uv)'=u'v+uv'$
Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.
$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.
$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.
$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$
Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.
$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$
Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной.
$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$
Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси.
$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$
Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами.
$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$
Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами.
$r\cos(\varphi-\alpha)=p$
Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ.
$r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$
Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
$r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$
Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$
Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.
$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$
Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.
$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$
Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.
$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$
Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области.
$S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$
Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке.
$\lim_{x\to a} f(x)=L$
Односторонние пределы описывают поведение функции только слева или только справа от точки. Они особенно важны для кусочных функций, границ области определения и проверки существования двухстороннего предела.
$\lim_{x\to a-} f(x)=L_{-},\qquad \lim_{x\to a+} f(x)=L_{+}$
Предел на бесконечности описывает, к какому числу стремится функция при больших значениях аргумента. Это основной язык для горизонтальных асимптот и для понимания долгосрочного поведения модели.
$\lim_{x\to\infty} f(x)=L$
Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно растут по модулю при приближении аргумента к точке. Это удобно для описания вертикальных асимптот и резких всплесков.
$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$
Бесконечно малая функция - это функция, которая стремится к нулю в заданном предельном процессе. Такой язык удобно использовать для оценок, сравнения порядков малости и вывода стандартных пределов.
$\lim_{x\to a}\alpha(x)=0$
Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений.
$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$
Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа.
$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$
Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.
$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
Устранимый разрыв возникает, когда предел в точке существует и конечен, но значение функции в самой точке отсутствует или не совпадает с этим пределом. Такой разрыв можно устранить переопределением функции.
$\tilde f(x)=\begin{cases}f(x),&x\ne a\\\lim_{x\to a}f(x),&x=a\end{cases}$
Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.
$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$
Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.
$y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0$
Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.
$\frac{d}{dx}C=0$
Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.
$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$
Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.
$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$
Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.
$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$
Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.
$\frac{d}{dx}e^x=e^x$
Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$
Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.
$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$
Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.
$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю.
$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$
Логарифмическая производная переводит произведения, степени и частные в суммы и разности, а затем возвращает обычную производную умножением на y.
$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y$
Если связь между x и y задана уравнением F(x,y)=0, производную y по x можно найти через частные производные F_x и F_y без явного решения уравнения.
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0$
Если кривая задана параметром t, ее наклон в координатах x-y равен отношению скорости изменения y к скорости изменения x.
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{dx}{dt}\ne 0$
Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке.
$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$
Нормаль удобно рассматривать как прикладное перпендикулярное направление к графику. Она нужна там, где важно не само касание, а ось, сила, отражение или геометрическая связь, задаваемая прямым углом к касательной.
$\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$
Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке.
$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$
Вторая производная показывает, как меняется сам наклон графика. Она связывает первую производную с кривизной поведения функции и подсказывает, ускоряется ли рост наклона или, наоборот, он выравнивается.
$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$
Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок.
$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$
Первообразная — это функция F(x), производная которой совпадает с исходной функцией f(x) на данном промежутке. В практическом смысле это обратное действие к дифференцированию: вместо того, чтобы искать скорость изменения, мы восстанавливаем функцию по известной скорости. Для непрерывной на интервале f(x) первообразная существует на каждом связном подотрезке этого интервала и определяется с точностью до добавления постоянной. Любая другая первообразная той же функции отличается от F(x) на константу. Это базовое понятие запускает блок неопределённого интегрирования.
$F'(x)=f(x)$
Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись \(\int f(x)dx\) является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.
$\int f(x) \,dx = F(x)+C$
Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.
$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$
Это базовая формула для степенных функций, обратная производной степени x^{n+1}. Важное условие: показатель n не равен −1, иначе интеграл сводится к \(\ln|x|\). Формула ускоряет интегрирование многочленов и большинства рациональных выражений после разложения.
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1$
Интеграл от обратной функции 1/x — особый ключевой случай. Здесь формула степенного правила неприменима, потому что показатель равен −1, для которого получаем логарифм. Знак модуля делает ответ корректным на интервалах x>0 и x<0 и показывает, что первообразная определена с учётом области.
$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$
Экспоненциальная функция интегрируется обратно почти в себя: интеграл e^{kx} даёт e^{kx}/k. Эта формула — центральная для дифференциальных уравнений, финансовых и физических задач, где процессы роста и затухания описываются показательной зависимостью. Необходимо учитывать коэффициент k в знаменателе.
$\int e^{kx} \,dx = \frac{e^{kx}}{k}+C,\; k\neq 0$
Интегралы тригонометрических базовых функций сводятся к взаимной смене функций с поправкой знака: производная косинуса даёт минус синус, а синуса — косинус. Поэтому интеграл синуса даёт -cos x + C, а косинуса — sin x + C.
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$
Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.
$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$
Интегрирование по частям — это обратное правило произведения для производных. Когда подынтегральное выражение является произведением двух функций, один из множителей берут для дифференцирования, другой — для интегрирования, чтобы упростить вычисление. Правило основано на формуле (uv)'=u'v+uv'.
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Константа интегрирования C фиксирует неопределенность, возникающую при переходе от производной к исходной функции. Любая первообразная отличается от другой ровно на добавление постоянной. В задаче с начальными условиями C позволяет выбрать конкретный представитель класса.
$\frac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$
Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$
Функция накопления задаёт площадь отрезка от фиксированной точки a до переменного x и связывает площадь с первообразной.
$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.
$S = \int_a^b f(x)\,dx$
Набор базовых алгебраических свойств определенного интеграла: линейность, смена знаков пределов, нулевой интеграл на пустом отрезке.
$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$
Интеграл по большому отрезку равен сумме интегралов по частям, если c принадлежит [a,b]. Эта страница показывает не только формулу, но и условия ее применения, типичные ошибки и связь с соседними правилами определенного интеграла.
$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
Формула среднего значения связывает значение функции на отрезке с ее интегралом и даёт характеристику типичного уровня функции на [a,b].
$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Подстановка меняет переменную в определенном интеграле и меняет также пределы интегрирования на соответствующие значения новой переменной.
$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)$
Интегрирование по частям переносит дифференцирование с одного фактора на другой, удобно для произведений функций. Эта страница показывает не только формулу, но и условия ее применения, типичные ошибки и связь с соседними правилами определенного интеграла.
$\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$
Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.
$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$
Степенной ряд — это бесконечная сумма, где каждый следующий член строится по одному шаблону степени относительно фиксированного центра a. В таком виде функция описывается через бесконечное многочленное приближение, а локальное поведение переменной x становится управляемым по степеням (x−a). Для практики это удобно: один набор коэффициентов {a_n} определяет весь шаблон приближения и задает область, где сумма имеет смысл.
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$
Маклореновский ряд синуса — стандартное чередующееся разложение с только нечётными степенями. Это делает его удобным для численного приближения на малых x и для сравнения с рядом косинуса в задачах на дифференцирование и интегрирование.
$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$
Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.
$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$
Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю.
$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$
