Математика
Геометрия
Формулы для фигур, окружностей, площадей, длин и пространственных объектов.
74 формулы
Таблица формул
Показаны 1-60 из 74. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Площадь круга | $S = \pi r^2$ | Геометрия | Площадь круга показывает, сколько квадратных единиц занимает круглая область внутри окружности. |
| Длина окружности | $C = 2\pi r$ | Геометрия | Длина окружности равна расстоянию, которое получится, если окружность развернуть в прямую линию. |
| Площадь прямоугольника в задачах 5 класса | $S=a\cdot b$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины; в 5 классе формула используется с единицами площади и практическими задачами. |
| Объем прямоугольного параллелепипеда | $V=a\cdot b\cdot c$ | Геометрия | Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины. |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | $S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$ | Геометрия | Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: по две грани каждого вида, если тело закрыто со всех сторон. |
| Сумма смежных углов | $\alpha + \beta = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма смежных углов равна 180 градусам. |
| Вертикальные углы | $\alpha = \beta$ | Геометрия | Вертикальные углы равны. |
| Сумма углов треугольника | $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости равна 180 градусам. |
| Внешний угол треугольника | $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ | Геометрия | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. |
| Периметр треугольника | $P = a + b + c$ | Геометрия | Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон. |
| Периметр прямоугольника | $P = 2(a + b)$ | Геометрия | Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. |
| Площадь прямоугольника | $S = ab$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) |
Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. |
| Средняя линия треугольника | $m = \frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. |
| Расстояние между точками в декартовых координатах | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Середина отрезка по координатам | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Прямые, плоскости | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Деление отрезка в заданном отношении | $P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$ | Прямые, плоскости | Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Вектор между двумя точками | $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$ | Прямые, плоскости | Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Длина вектора по координатам | $\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ | Прямые, плоскости | Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Скалярное произведение в координатах | $a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$ | Прямые, плоскости | Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угол между векторами в координатах | $\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$ | Прямые, плоскости | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение прямой через две точки | $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ | Прямые, плоскости | Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угловой коэффициент прямой по двум точкам | $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ | Прямые, плоскости | Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Расстояние от точки до прямой на плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение окружности в канонической форме | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая форма окружности прямо задает все ее параметры через центр и радиус: центр (a, b), радиус R. Эта запись удобна для проверки принадлежности точки и быстрых преобразований уравнений. |
| Уравнение окружности по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Эта формула показывает, как получить уравнение окружности, если известны центр и радиус. Переписывать в развернутую форму обычно не нужно до появления задачи на пересечения с прямой или касательные. |
| Уравнение касательной к окружности в заданной точке | $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение касательной к окружности строится через радиус к точке касания: радиус и касательная перпендикулярны. Формула удобна для получения касательной сразу из центра и точки на окружности. |
| Дискриминант пересечения окружности и прямой | $\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$ | Прямые, плоскости | Сравнение числа пересечений окружности и прямой удобно делать через знак дискриминанта квадратного уравнения после подстановки. Положительный, нулевой и нулевой/отрицательный знак дают две, одну или нулевую точку пересечения. |
| Каноническое уравнение эллипса | $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ | Прямые, плоскости | Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую. |
| Расстояние от центра до фокуса эллипса | $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ | Прямые, плоскости | Для эллипса параметры фокусов определяются через полуоси: расстояние от центра до фокуса c и эксцентриситет e описывают форму и вытянутость кривой. |
| Каноническое уравнение гиперболы | $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали. |
| Асимптоты гиперболы в канонических координатах | $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ | Прямые, плоскости | Асимптоты описывают направление ветвей гиперболы и ее поведение на бесконечности. Это линейные прямые, к которым график гиперболы приближается. |
| Каноническое уравнение параболы | $y-k = a(x-h)^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y. |
| Парабола через фокус и директрису | $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ | Прямые, плоскости | Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы. |
| Расстояние между двумя точками в пространстве | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между точками A и B в трехмерной системе координат находится как длина разностного вектора координат по всем осям. |
| Вектор между двумя точками в пространстве | $\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ | Прямые, плоскости | Вектор между точками A и B в 3D строится как разность их координат по каждой оси. Формула "Вектор между двумя точками в пространстве" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Уравнение плоскости по точке и нормали | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ | Прямые, плоскости | Плоскость в пространстве задается координатами точки на ней и нормальным вектором, перпендикулярным плоскости. Формула "Уравнение плоскости по точке и нормали" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Расстояние от точки до плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до плоскости вычисляется как отношение модуля подстановки точки в уравнение плоскости к длине нормали. |
| Угол между двумя плоскостями | $\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ | Прямые, плоскости | Острый угол между плоскостями равен углу между их нормалями, для которого используется скалярное произведение. Формула "Угол между двумя плоскостями" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Угол между прямой и плоскостью | $\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Угол между прямой и плоскостью определяется через нормаль плоскости и направляющий вектор прямой. Формула "Угол между прямой и плоскостью" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Параметрическое уравнение прямой в пространстве | $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$ | Прямые, плоскости | Прямая в 3D задается координатами любой ее точки и направляющим вектором, параметр t указывает удаление вдоль направления. |
| Расстояние от точки до прямой в пространстве | $d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Минимальное расстояние от точки до прямой в 3D равно норме векторного произведения между радиус-вектором до одной точки прямой и направляющим вектором, деленной на длину направления. |
| Объем параллелепипеда через смешанное произведение | $V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$ | Прямые, плоскости | Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю скалярного тройного произведения. Формула "Объем параллелепипеда через смешанное произведение" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Компланарность четырех точек через смешанное произведение | $V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$ | Прямые, плоскости | Четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. |
| Геометрический смысл производной | $f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$ | Пределы, ряды | Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика. |
| Нормаль к графику функции | y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0 |
Пределы, ряды | Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление. |
| Нормаль как прикладное перпендикулярное направление | $\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$ | Пределы, ряды | Нормаль удобно рассматривать как прикладное перпендикулярное направление к графику. Она нужна там, где важно не само касание, а ось, сила, отражение или геометрическая связь, задаваемая прямым углом к касательной. |
| Градиент функции двух переменных | $\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$ | Пределы, ряды | Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных. |
| Направленная производная через градиент | $D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$ | Пределы, ряды | Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор. |
| Касательная плоскость к графику z=f(x,y) | $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ | Пределы, ряды | Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных. |
| Двойной интеграл по области | $\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$ | Пределы, ряды | Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Повторный интеграл | $\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$ | Пределы, ряды | Повторный интеграл записывает двойной интеграл как два обычных интегрирования по подходящим пределам. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Полярные координаты в двойном интеграле | $x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$ | Пределы, ряды | Полярные координаты превращают круговые и радиальные области в простые пределы по радиусу и углу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Площадь через двойной интеграл | $S(D)=\iint_D 1\,dA$ | Пределы, ряды | Площадь области можно вычислить как двойной интеграл от единицы по этой области. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |