Линейная алгебра

Матрицы

Операции с матрицами, обратные матрицы, след, произведение и матричные записи систем.

22 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Обратное аффинное преобразование	$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$	Прямые, плоскости	Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.
Матричное произведение	$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$	Матрицы, определители	Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.
Определитель матрицы 2x2	$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$	Матрицы, определители	Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.
Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса	$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$	Матрицы, определители	Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.
Обратная матрица 2x2	$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	Матрицы, определители	Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.
Ранг матрицы через миноры	$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.
След матрицы	$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$	Матрицы, определители	След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.
Характеристический многочлен матрицы 2x2	$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$	Матрицы, определители	Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.
Матричная форма системы линейных уравнений	$Ax=b$	Матрицы, определители	Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект.
Расширенная матрица системы	$\left[A\mid b\right]$	Матрицы, определители	Расширенная матрица [A\|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части.
Элементарные преобразования строк	$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$	Матрицы, определители	Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки.
Матрица базиса и стандартные координаты	$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$	Матрицы, определители	Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.
Матрица оператора при смене базиса	$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$	Матрицы, определители	При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.
Матрица линейного отображения в стандартных базисах	$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$	Матрицы, определители	Если T:R^n -> R^m линейно, то оно задается матрицей A размера m x n. Столбцы A равны образам стандартных базисных векторов области определения.
Столбцы матрицы линейного отображения	$A e_j=a_j=T(e_j)$	Матрицы, определители	j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы.
Композиция линейных отображений и произведение матриц	$[S\circ T]=[S][T]$	Матрицы, определители	Матрица композиции линейных отображений равна произведению их матриц в том же порядке применения справа налево: сначала T, затем S.
Тождественное линейное отображение и единичная матрица	$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$	Матрицы, определители	Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n.
Обратное линейное отображение и обратная матрица	$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$	Матрицы, определители	Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах.
Линейный оператор как квадратная матрица	$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$	Матрицы, определители	Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей.
Линейный функционал как строка матрицы	$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$	Матрицы, определители	Линейный функционал - это линейное отображение из пространства в поле скаляров. В выбранном базисе он записывается одной строкой, которая умножается на координатный столбец.
Матрица ортогональной проекции	$P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$	Матрицы, определители	Если столбцы Q образуют ортонормированный базис подпространства W, то матрица P=QQ^T переводит любой вектор в его ортогональную проекцию на W.
Ортогональная матрица	$Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$	Матрицы, определители	Квадратная матрица Q ортогональна, если ее столбцы образуют ортонормированный базис. Тогда обратная матрица равна транспонированной, а преобразование сохраняет длины и углы.