Линейная алгебра
Векторы
Длина вектора, скалярное произведение, угол между векторами и координатные расчеты.
25 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Расстояние между точками в декартовых координатах | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Середина отрезка по координатам | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Прямые, плоскости | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Деление отрезка в заданном отношении | $P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$ | Прямые, плоскости | Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Вектор между двумя точками | $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$ | Прямые, плоскости | Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Длина вектора по координатам | $\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ | Прямые, плоскости | Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Скалярное произведение в координатах | $a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$ | Прямые, плоскости | Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угол между векторами в координатах | $\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$ | Прямые, плоскости | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение прямой через две точки | $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ | Прямые, плоскости | Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угловой коэффициент прямой по двум точкам | $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ | Прямые, плоскости | Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Расстояние от точки до прямой на плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Расстояние между двумя точками в пространстве | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между точками A и B в трехмерной системе координат находится как длина разностного вектора координат по всем осям. |
| Вектор между двумя точками в пространстве | $\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ | Прямые, плоскости | Вектор между точками A и B в 3D строится как разность их координат по каждой оси. Формула "Вектор между двумя точками в пространстве" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Объем параллелепипеда через смешанное произведение | $V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$ | Прямые, плоскости | Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю скалярного тройного произведения. Формула "Объем параллелепипеда через смешанное произведение" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Компланарность четырех точек через смешанное произведение | $V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$ | Прямые, плоскости | Четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. |
| Уравнение плоскости через три точки через определитель | $\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$ | Прямые, плоскости | Уравнение плоскости через три неколлинеарные точки получают из равенства нулю определителя, составленного по координатам этих точек и произвольной точки плоскости. |
| Нормаль плоскости через векторное произведение | $\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$ | Прямые, плоскости | Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных направлений, лежащих в этой плоскости. Она нужна для построения уравнений плоскостей, расстояний и углов в пространственных координатных задачах. |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | $d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения. |
| Расстояние между параллельными плоскостями | $d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$ | Прямые, плоскости | Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали. |
| Сфера по концам диаметра | $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$ | Прямые, плоскости | Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов. |
| Длина вектора в Rn | $\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$ | Матрицы, определители | Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат. |
| Скалярное произведение векторов | $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$ | Матрицы, определители | Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции. |
| Косинус угла между векторами | $\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$ | Матрицы, определители | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол. |
| Ортогональность векторов через скалярное произведение | $u\cdot v=0$ | Матрицы, определители | Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы. |
| Норма вектора через скалярное произведение | $\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$ | Матрицы, определители | Длина вектора в евклидовом пространстве равна квадратному корню из его скалярного произведения с самим собой. Формула связывает геометрическую длину с алгебраической операцией над координатами. |
| Ортогональная проекция на прямую | $\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$ | Матрицы, определители | Ортогональная проекция вектора v на прямую, заданную ненулевым вектором u, равна такому кратному u, что остаток v-proj_u v перпендикулярен прямой. |