Линейная алгебра
Определители
Формулы определителей, невырожденность матриц, площади, объемы и критерии независимости.
15 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Критерий Гессе для двух переменных | D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle |
Пределы, ряды | Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе. |
| Якобиан для смены переменных | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан показывает локальный коэффициент изменения площади или объема при замене переменных и входит в формулу кратных интегралов. |
| Тройной интеграл | $\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$ | Пределы, ряды | Тройной интеграл суммирует значения функции по объему трехмерного тела. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Якобиан замены координат | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан измеряет, во сколько раз локально растягивается или сжимается площадь или объем при замене переменных. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Объем через тройной интеграл | $V(G)=\iiint_G 1\,dV$ | Пределы, ряды | Объем тела равен тройному интегралу от единицы по этому телу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Определитель матрицы 2x2 | $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ | Матрицы, определители | Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь. |
| Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса | $\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$ | Матрицы, определители | Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям. |
| Обратная матрица 2x2 | $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ | Матрицы, определители | Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор. |
| Решение системы 2x2 по правилу Крамера | $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ | Матрицы, определители | Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю. |
| Ранг матрицы через миноры | $\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы. |
| Характеристический многочлен матрицы 2x2 | $p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы. |
| Критерий базиса в Rn через определитель | $A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$ | Матрицы, определители | В Rn набор из n векторов является базисом тогда и только тогда, когда определитель матрицы из этих векторов как столбцов не равен нулю. |
| Характеристическое уравнение матрицы | $\det(A-\lambda I)=0$ | Матрицы, определители | Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы. |
| Характеристический многочлен общей матрицы | $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности. |
| Произведение собственных значений равно определителю | $\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$ | Матрицы, определители | Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель. |