Все формулы РФ

Уровень

Школьная программа, страница 3

Базовые формулы школьного курса с объяснениями и примерами.

252 формулы

Таблица формул

Показаны 121-180 из 252. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула Запись Тема Для чего нужна
Простые и составные числа p>1,\;D(p)=\{1,p\} Арифметика и теория чисел Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.
Разложение числа на простые множители $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ Арифметика и теория чисел Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.
Наибольший общий делитель $\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$ Арифметика и теория чисел Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.
Наименьшее общее кратное $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$ Арифметика и теория чисел Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.
Сокращение дроби по НОД $\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$ Обыкновенные дроби, смешанные числа Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.
Приведение дробей к общему знаменателю $\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ Обыкновенные дроби, смешанные числа Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями $\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ Обыкновенные дроби, смешанные числа Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.
Умножение обыкновенных дробей \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0 Обыкновенные дроби, смешанные числа При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби.
Корень линейного уравнения ax + b = 0 $x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$ Алгебра Корень линейного уравнения ax + b = 0 находится переносом свободного члена и делением на коэффициент при x.
Основное свойство пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$ Алгебра В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Произведение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Алгебра При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
Частное степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ Алгебра При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются.
Степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ Алгебра Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.
Степень степени $(a^m)^n = a^{mn}$ Алгебра При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Линейная функция $y = kx + b$ Функции и графики Линейная функция задается формулой y = kx + b и имеет график в виде прямой.
Угловой коэффициент прямой $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$ Функции и графики Угловой коэффициент прямой показывает, как меняется y при изменении x.
Сумма смежных углов $\alpha + \beta = 180^\circ$ Геометрия Сумма смежных углов равна 180 градусам.
Вертикальные углы $\alpha = \beta$ Геометрия Вертикальные углы равны.
Сумма углов треугольника $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ Геометрия Сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости равна 180 градусам.
Внешний угол треугольника $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ Геометрия Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Периметр треугольника $P = a + b + c$ Геометрия Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон.
Периметр прямоугольника $P = 2(a + b)$ Геометрия Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.
Площадь прямоугольника $S = ab$ Геометрия Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Расстояние между точками на координатной прямой $d = |x_2 - x_1|$ Алгебра Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.
Приведение подобных слагаемых $ka + ma = (k + m)a$ Алгебра Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Произведение одночленов $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ Алгебра Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.
Степень одночлена $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ Алгебра При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.
Умножение многочлена на одночлен $a(b + c) = ab + ac$ Алгебра Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.
Умножение многочлена на многочлен $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ Алгебра Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Вынесение общего множителя за скобки $ab + ac = a(b + c)$ Алгебра Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.
Разложение многочлена группировкой $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ Алгебра Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.
Линейное уравнение с двумя переменными $ax + by = c$ Алгебра Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.
Метод подстановки для системы линейных уравнений $y = kx + b,\quad ax + by = c$ Алгебра Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение.
Метод сложения для системы линейных уравнений $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ Алгебра Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла.
Линейное уравнение вида ax + b = c $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ Алгебра Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.
Равносильные преобразования уравнения $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ Алгебра Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Прямая пропорциональность $y = kx$ Функции и графики Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.
График линейной функции по двум точкам $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$ Функции и графики Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.
Арифметический квадратный корень \sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0 Алгебра Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.
Квадрат арифметического квадратного корня $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ Алгебра Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.
Квадратный корень из частного \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0 Алгебра Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.
Вынесение множителя из-под квадратного корня $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ Алгебра Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем.
Внесение множителя под квадратный корень a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0 Алгебра Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}.
Сложение подобных квадратных корней $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ Алгебра Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.
Неполное квадратное уравнение x² = a x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0) Алгебра Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.
Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ Алгебра Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.
Корни приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ Алгебра Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.
Разложение квадратного трехчлена на множители $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ Алгебра Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2).
Абсцисса вершины параболы $x_0=-\frac{b}{2a}$ Функции и графики Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины.
Ордината вершины параболы $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ Функции и графики Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции.
Ось симметрии параболы $x=-\frac{b}{2a}$ Функции и графики Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам.
n-й член арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$ Алгебра n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ Алгебра Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов.
n-й член геометрической прогрессии $b_n=b_1 q^{n-1}$ Алгебра n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ Алгебра Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1.
Классическая вероятность события $P(A)=\frac{m}{n}$ Вероятность и статистика Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте.
Расстояние между двумя точками на плоскости $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ Геометрия Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной.
Координаты середины отрезка M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) Геометрия Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости.
Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ Геометрия Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника через основание и высоту $S = \frac{1}{2}ah$ Геометрия Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.