Математический анализ: геометрический смысл
Касательная
Формулы для наклона касательной, уравнения касательной и локальной линейной модели графика.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Геометрический смысл производной | $f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$ | Пределы, ряды | Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика. |
| Касательная к графику функции | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Пределы, ряды | Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям. |
| Касательная как линейная модель | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ | Пределы, ряды | Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке. |
| Касательная плоскость к графику z=f(x,y) | $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ | Пределы, ряды | Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных. |