Математический анализ
Показательная функция
Формулы, связанные с числом e, экспонентой, логарифмами и предельными определениями роста.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Стандартный предел, связанный с числом e | $\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$ | Пределы, ряды | Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений. |
| Производная e^x | $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ | Пределы, ряды | Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Это базовый специальный случай Тейлора в точке a=0. Ключевой плюс разложения в нуле — все производные e^x в 0 равны 1, поэтому коэффициенты просты и серия даёт очень удобную рабочую модель для вычислений, линейных аппроксимаций и решения задач на оценку роста. |
| Ряд ln(1+x) | $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$ | Пределы, ряды | Это одно из самых практичных разложений для логарифма возле нуля. Оно позволяет считать ln(1+x) на малых x через полином с контролируемым остатком, что удобно в задачах с относительными изменениями и экономическими/приблизительными моделями. |