Инструменты
Калькуляторы формул, страница 3
Формулы, где на странице уже есть быстрый расчет: подставьте числа, проверьте ответ и переходите к подробному разбору, если нужно понять ход решения.
299 формул
Формулы с калькуляторами
Показаны 121-180 из 299. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Производная сложной функции | $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ | Начала анализа | Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции. |
| Уравнение касательной к графику функции | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Начала анализа | Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая. |
| Первообразная степенной функции | $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$ | Начала анализа | Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной. |
| Сумма двух чисел | $a+b=c$ | Сложение, вычитание | Сумма показывает, сколько предметов получится, если к одной группе добавить другую группу и посчитать все предметы вместе. |
| Неизвестное слагаемое через сумму | $a=c-b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением. |
| Разность двух чисел | $a-b=c$ | Сложение, вычитание | Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств. |
| Уменьшаемое через разность и вычитаемое | $a=c+b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи. |
| Вычитаемое через уменьшаемое и разность | $b=a-c$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого. |
| Сравнение: на сколько больше или меньше | $d=a-b,\quad a\ge b$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитают меньшее и получают разницу между ними. |
| Число на несколько больше | $x=a+k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько больше, к исходному числу прибавляют указанное количество и находят новое большее значение. |
| Число на несколько меньше | $x=a-k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько меньше, из исходного числа вычитают указанное количество и получают новое меньшее значение. |
| Длина отрезка по частям | $L=l_1+l_2$ | Длина, масса | Если отрезок состоит из двух частей, его общая длина равна сумме длин этих частей, измеренных в одной единице длины без промежутков. |
| Периметр простой ломаной | $P=l_1+l_2+\dots+l_n$ | Точка, прямая | Периметр простой ломаной или границы фигуры находят сложением длин всех ее звеньев или сторон в одной единице длины без пропусков. |
| Умножение как сумма одинаковых слагаемых | $a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$ | Умножение, деление | Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением. |
| Перестановка множителей | $a\cdot b=b\cdot a$ | Умножение, деление | От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам. |
| Умножение на ноль | $a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$ | Умножение, деление | Если число умножить на ноль или ноль умножить на число, произведение равно нулю, потому что нет ни одной заполненной группы. |
| Умножение на единицу | $a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$ | Умножение, деление | Если число умножить на единицу или единицу умножить на число, произведение равно этому же числу, потому что количество не увеличивается. |
| Деление на равные части | $x=N:k$ | Умножение, деление | При делении на равные части общее количество N распределяют поровну на k групп и находят, сколько будет в одной группе после распределения. |
| Число групп при делении | $m=N:q$ | Умножение, деление | Чтобы узнать число одинаковых групп, общее количество N делят на количество предметов q в одной группе и получают число полных наборов. |
| Неизвестный множитель | $x=P:a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель и проверяют ответ обратным умножением в исходной записи. |
| Стоимость покупки по цене и количеству | $C=p\cdot n$ | Стоимость, движение | Стоимость покупки равна цене одного предмета, умноженной на количество одинаковых предметов, если все они продаются по одной цене. |
| Периметр прямоугольника через сумму сторон | $P=a+b+a+b$ | Точка, прямая | Периметр прямоугольника равен сумме всех четырех сторон: длина, ширина, снова длина и снова ширина в одной единице длины. |
| Периметр квадрата | $P=4a$ | Точка, прямая | Периметр квадрата равен длине одной стороны, умноженной на 4, потому что у квадрата четыре равные стороны границы фигуры. |
| Умножение суммы на число | $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ | Умножение, деление | Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты. |
| Деление суммы на число | $(a+b):c=a:c+b:c$ | Умножение, деление | Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка. |
| Неизвестное делимое | $x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением. |
| Неизвестный делитель | $a:x=b \Rightarrow x=a:b$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением. |
| Деление с остатком | $a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$ | Умножение, деление | При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя. |
| Площадь прямоугольника по клеткам | $S=a\cdot b$ | Точка, прямая | Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. |
| Площадь квадрата | $S=a\cdot a$ | Точка, прямая | Площадь квадрата равна произведению стороны самой на себя, потому что у квадрата длина и ширина одинаковы и образуют квадратную сетку. |
| Периметр многоугольника | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Точка, прямая | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: нужно пройти по границе фигуры и сложить каждую сторону по порядку. |
| Расстояние по скорости и времени | $S=v\cdot t$ | Стоимость, движение | Расстояние равно скорости, умноженной на время движения: формула показывает, какой путь пройдет объект при постоянной скорости. |
| Скорость по расстоянию и времени | $v=S:t$ | Стоимость, движение | Скорость равна расстоянию, деленному на время: формула показывает, какой путь проходили за одну единицу времени при равномерном движении. |
| Время по расстоянию и скорости | $t=S:v$ | Стоимость, движение | Время движения равно расстоянию, деленному на скорость: формула показывает, сколько единиц времени нужно, чтобы пройти весь путь. |
| Работа по производительности и времени | $A=p\cdot t$ | Стоимость, движение | Объем работы равен производительности, умноженной на время: если за одну единицу времени делают p единиц, то за t единиц времени сделают p · t. |
| Производительность по работе и времени | $p=A:t$ | Стоимость, движение | Производительность равна объему работы, деленному на время: формула показывает, сколько работы выполняют за одну единицу времени. |
| Время работы по объему и производительности | $t=A:p$ | Стоимость, движение | Время работы равно объему работы, деленному на производительность: формула показывает, сколько единиц времени нужно для выполнения всего объема. |
| Перевод квадратных единиц площади | $1\,\text{дм}^2=100\,\text{см}^2,\quad 1\,\text{м}^2=100\,\text{дм}^2=10000\,\text{см}^2$ | Длина, масса | Квадратные единицы переводятся не как длины: если сторона увеличивается в 10 раз, площадь единичного квадрата увеличивается в 100 раз. |
| Площадь составной фигуры через сумму частей | $S=S_1+S_2+\dots+S_n$ | Точка, прямая | Площадь составной фигуры можно найти как сумму площадей непересекающихся частей, если фигуру удобно разбить на прямоугольники или квадраты. |
| Площадь составной фигуры через вычитание | $S=S_{\text{большая}}-S_{\text{вырез}}$ | Точка, прямая | Площадь фигуры с вырезом можно найти как площадь большого прямоугольника минус площадь удаленной части, если вырез полностью находится внутри. |
| Площадь и периметр прямоугольника в одной задаче | $S=a\cdot b,\quad P=2(a+b)$ | Точка, прямая | В задачах о прямоугольнике площадь и периметр находят по разным формулам: площадь умножает стороны, периметр складывает границу. |
| Разрядная запись многозначного числа | $N=a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$ | Натуральные числа, делимость | Разрядная запись показывает, что многозначное число состоит из единиц, десятков, сотен, тысяч и других разрядов, умноженных на степени 10. |
| Среднее арифметическое нескольких чисел | $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ | Натуральные числа, делимость | Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество; оно показывает равное значение, которое заменяет набор чисел. |
| Дробь как часть целого | $\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами. |
| Нахождение части числа по дроби | $\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины. |
| Нахождение числа по его дроби | $A=\text{часть}:m\cdot n$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли. |
| Процент как сотая часть числа | $p\%=\frac{p}{100}$ | Проценты, процентное изменение | Процент означает сотую часть: p процентов равны дроби p/100 от выбранного целого, поэтому проценты можно переводить в дроби, сравнивать доли и решать практические задачи. |
| Процент от числа | $\text{часть}=A\cdot\frac{p}{100}$ | Проценты, процентное изменение | Чтобы найти p процентов от числа A, нужно перевести процент в дробь p/100 и умножить на A, то есть найти нужное количество сотых долей от выбранного целого. |
| Площадь прямоугольника в задачах 5 класса | $S=a\cdot b$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины; в 5 классе формула используется с единицами площади и практическими задачами. |
| Объем прямоугольного параллелепипеда | $V=a\cdot b\cdot c$ | Геометрия | Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины. |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | $S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$ | Геометрия | Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: по две грани каждого вида, если тело закрыто со всех сторон. |
| Признаки делимости на 2, 5 и 10 | $n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$ | Арифметика и теория чисел | Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком. |
| Признаки делимости на 3 и 9 | $n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$ | Арифметика и теория чисел | Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр. |
| Разложение числа на простые множители | $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ | Арифметика и теория чисел | Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей. |
| Наибольший общий делитель | $\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел. |
| Наименьшее общее кратное | $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях. |
| Сокращение дроби по НОД | $\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись. |
| Приведение дробей к общему знаменателю | $\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители. |
| Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями | $\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями. |
| Умножение обыкновенных дробей | \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0 |
Обыкновенные дроби, смешанные числа | При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби. |