Нормальное напряжение от осевой силы равно силе, деленной на площадь поперечного сечения. Формула показывает среднее растягивающее или сжимающее напряжение в элементе при центральном приложении силы.
$\sigma=\frac{N}{A}$
Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке.
$\lim_{x\to a} f(x)=L$
Односторонние пределы описывают поведение функции только слева или только справа от точки. Они особенно важны для кусочных функций, границ области определения и проверки существования двухстороннего предела.
$\lim_{x\to a-} f(x)=L_{-},\qquad \lim_{x\to a+} f(x)=L_{+}$
Предел на бесконечности описывает, к какому числу стремится функция при больших значениях аргумента. Это основной язык для горизонтальных асимптот и для понимания долгосрочного поведения модели.
$\lim_{x\to\infty} f(x)=L$
Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно растут по модулю при приближении аргумента к точке. Это удобно для описания вертикальных асимптот и резких всплесков.
$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$
Бесконечно малая функция - это функция, которая стремится к нулю в заданном предельном процессе. Такой язык удобно использовать для оценок, сравнения порядков малости и вывода стандартных пределов.
$\lim_{x\to a}\alpha(x)=0$
Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений.
$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$
Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа.
$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$
Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.
$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
Устранимый разрыв возникает, когда предел в точке существует и конечен, но значение функции в самой точке отсутствует или не совпадает с этим пределом. Такой разрыв можно устранить переопределением функции.
$\tilde f(x)=\begin{cases}f(x),&x\ne a\\\lim_{x\to a}f(x),&x=a\end{cases}$
Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.
$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$
Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.
$y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0$
Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.
$\frac{d}{dx}C=0$
Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.
$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$
Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.
$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$
Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.
$\frac{d}{dx}e^x=e^x$
Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$
Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.
$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$
Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.
$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.
$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю.
$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$
Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке.
$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$
Нормаль удобно рассматривать как прикладное перпендикулярное направление к графику. Она нужна там, где важно не само касание, а ось, сила, отражение или геометрическая связь, задаваемая прямым углом к касательной.
$\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$
Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке.
$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$
Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции.
$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$
Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой.
$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$
Смена знака первой производной дает уже достаточный вывод об экстремуме. Если функция переходит от роста к убыванию, возникает максимум; если от убывания к росту, получается минимум.
$f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$
Вторая производная показывает, как меняется сам наклон графика. Она связывает первую производную с кривизной поведения функции и подсказывает, ускоряется ли рост наклона или, наоборот, он выравнивается.
$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$
Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба.
$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$
Точка перегиба - это место, где график меняет выпуклость. Для надежного вывода нужно не только заметить ноль второй производной, но и проверить смену ее знака по обе стороны точки.
$x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$
Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок.
$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$
Первообразная — это функция F(x), производная которой совпадает с исходной функцией f(x) на данном промежутке. В практическом смысле это обратное действие к дифференцированию: вместо того, чтобы искать скорость изменения, мы восстанавливаем функцию по известной скорости. Для непрерывной на интервале f(x) первообразная существует на каждом связном подотрезке этого интервала и определяется с точностью до добавления постоянной. Любая другая первообразная той же функции отличается от F(x) на константу. Это базовое понятие запускает блок неопределённого интегрирования.
$F'(x)=f(x)$
Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись \(\int f(x)dx\) является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.
$\int f(x) \,dx = F(x)+C$
Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.
$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$
Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.
$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$
Константа интегрирования C фиксирует неопределенность, возникающую при переходе от производной к исходной функции. Любая первообразная отличается от другой ровно на добавление постоянной. В задаче с начальными условиями C позволяет выбрать конкретный представитель класса.
$\frac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$
Предел последовательности показывает число L, к которому стремятся члены a_n при n→∞; это базовый элемент анализа для оценки долгосрочного поведения.
$\lim_{n \to \infty} a_n = L$
Если ряд сходится, то его члены обязательно стремятся к нулю; это обязательный, но не достаточный тест. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$
Критерий уплотнения (Коши) сводит ряд к подвыборке с индексом 2^n. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
$a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$
Предел функции двух переменных описывает число, к которому стремится f(x,y), когда точка (x,y) приближается к (a,b) по любому допустимому пути в плоскости.
$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$
Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$
Повторный интеграл записывает двойной интеграл как два обычных интегрирования по подходящим пределам. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$
Тройной интеграл суммирует значения функции по объему трехмерного тела. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$
Полярные координаты превращают круговые и радиальные области в простые пределы по радиусу и углу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$
Цилиндрические координаты расширяют полярные координаты на пространство и удобны для тел с осевой симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
Сферические координаты лучше всего подходят для шаров, сферических слоев и тел с центральной симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$
Якобиан измеряет, во сколько раз локально растягивается или сжимается площадь или объем при замене переменных. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$
Площадь области можно вычислить как двойной интеграл от единицы по этой области. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$S(D)=\iint_D 1\,dA$
Объем тела равен тройному интегралу от единицы по этому телу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$V(G)=\iiint_G 1\,dV$
Центр масс показывает, где сосредоточен средний вес распределения в плоскости или в пространстве. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$
Степенной ряд — это бесконечная сумма, где каждый следующий член строится по одному шаблону степени относительно фиксированного центра a. В таком виде функция описывается через бесконечное многочленное приближение, а локальное поведение переменной x становится управляемым по степеням (x−a). Для практики это удобно: один набор коэффициентов {a_n} определяет весь шаблон приближения и задает область, где сумма имеет смысл.
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$
Радиус сходимости R определяет главный «каркас» степенного ряда: внутри интервала (a−R,a+R) ряд сходится, вне его расходится. В этом месте удобно разделять задачу на два этапа: сначала анализировать общий коэффициентный шаблон через limsup (или эквивалентный признак отношения), затем отдельно проверять концы. Такой подход резко снижает риск пропуска тонких случаев.
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$
После нахождения радиуса сходимости остаётся завершить задачу, исследовав сам интервал. Внутри I ряд гарантированно сходится, вне I расходится, а на концах R-круговой границы возможны любые варианты: сходящийся, расходящийся или условно сходящийся. Поэтому интервал сходимости всегда строится в два шага: «внутри/снаружи» по R и «границы» по отдельным критериям.
$I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$
Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.
$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$
Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление.
$Av=\lambda v,\quad v\ne0$
Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы.
$\det(A-\lambda I)=0$
Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.
$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$
Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.
$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$
Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен.
$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$
Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.
$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$
Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.
$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$
Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса.
$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$
Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель.
$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$
Если матрица n x n имеет n различных собственных значений, то она диагонализируема. Разным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$
Матрица 2x2 диагонализируется, если для нее можно найти два линейно независимых собственных вектора. При двух различных собственных значениях это выполняется автоматически.
$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$
Длина вектора в евклидовом пространстве равна квадратному корню из его скалярного произведения с самим собой. Формула связывает геометрическую длину с алгебраической операцией над координатами.
$\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$
Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
$A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$
Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.
$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$
Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.
$A=PDP^{-1}$
Матрица n x n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных пространств равна n. Это означает, что собственных векторов хватает на базис.
$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$
Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы.
$u\cdot v=0$
