Аналитическая геометрия
Аффинные преобразования
Переносы, масштабирования, матричные преобразования и сдвиги, сохраняющие прямые и аффинные отношения.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Перенос начала координат в пространстве | $x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$ | Прямые, плоскости | Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию. |
| Масштабирование координат | $x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$ | Прямые, плоскости | Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей. |
| Аффинное преобразование точки | $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ | Прямые, плоскости | Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой. |
| Обратное аффинное преобразование | $\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$ | Прямые, плоскости | Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима. |
| Барицентрические координаты точки на отрезке | $P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$ | Прямые, плоскости | Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице. |
| Центр масс системы точек | $\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$ | Прямые, плоскости | Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты. |